Номер 1378, страница 306 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Упражнения для повторения курса математики - номер 1378, страница 306.

Условие.

1378. Если одновременно открыть две трубы разной пропускной способности, то бассейн будет наполнен водой за 6 ч. Если открыть обе трубы на 2 ч, а потом оставить открытой только одну из них, то остальная часть бассейна наполнится за 10 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу?

Решение.

Решение 2.

Пусть $t_1$ и $t_2$ — это время в часах, за которое первая и вторая трубы могут наполнить бассейн, работая по отдельности.Тогда производительность (часть бассейна, наполняемая за 1 час) первой трубы равна $p_1 = \frac{1}{t_1}$, а производительность второй трубы — $p_2 = \frac{1}{t_2}$.

Согласно первому условию, две трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов. Объем всего бассейна примем за 1. Совместная производительность двух труб равна $p_1 + p_2$.Таким образом, мы можем составить первое уравнение:$(p_1 + p_2) \cdot 6 = 1$Из этого уравнения выразим суммарную производительность:$p_1 + p_2 = \frac{1}{6}$

Согласно второму условию, обе трубы были открыты 2 часа, а затем одна из них наполнила оставшуюся часть за 10 часов.За 2 часа совместной работы трубы наполнили часть бассейна, равную:$(p_1 + p_2) \cdot 2 = \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

После этого осталась ненаполненной следующая часть бассейна:$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Эту оставшуюся часть бассейна ($\frac{2}{3}$) одна из труб наполнила за 10 часов. Это означает, что производительность этой трубы умноженная на 10 часов равна $\frac{2}{3}$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Оставшуюся часть наполняла первая труба.Тогда ее производительность $p_1$ можно найти из уравнения:$p_1 \cdot 10 = \frac{2}{3}$$p_1 = \frac{2}{3 \cdot 10} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$Зная $p_1$, найдем $p_2$ из первого уравнения:$p_2 = \frac{1}{6} - p_1 = \frac{1}{6} - \frac{1}{15} = \frac{5}{30} - \frac{2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$Теперь найдем время для каждой трубы:$t_1 = \frac{1}{p_1} = 15$ часов.$t_2 = \frac{1}{p_2} = 10$ часов.

Случай 2: Оставшуюся часть наполняла вторая труба.Тогда ее производительность $p_2$ можно найти из уравнения:$p_2 \cdot 10 = \frac{2}{3}$$p_2 = \frac{2}{3 \cdot 10} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$Зная $p_2$, найдем $p_1$ из первого уравнения:$p_1 = \frac{1}{6} - p_2 = \frac{1}{6} - \frac{1}{15} = \frac{5}{30} - \frac{2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$Теперь найдем время для каждой трубы:$t_1 = \frac{1}{p_1} = 10$ часов.$t_2 = \frac{1}{p_2} = 15$ часов.

В обоих случаях мы получили, что одна труба наполняет бассейн за 10 часов, а другая — за 15 часов.Ответ: Одна труба может наполнить бассейн за 10 часов, а другая — за 15 часов.