Номер 1381, страница 306 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Упражнения для повторения курса математики - номер 1381, страница 306.

Условие.

1381. Чтобы измерить расстояние между домами $A$ и $B$ (рис. 1), ориентировались на дерево $C$, расстояние от которого до дома $B$ равно 300 м. С помощью теодолита (прибора для измерения углов во время землемерных работ) измерили углы $\angle ABC$ и $\angle ACB$, получив соответственно $60^\circ$ и $75^\circ$. Постройте изображение треугольника $\triangle ABC$ в масштабе $1 : 6\,000$. Измерьте длину изображения отрезка $AB$ и вычислите расстояние между домами $A$ и $B$.

Рис. 1

Решение.

Решение 2.

Построение изображения треугольника ABC в масштабе 1 : 6 000

Для построения треугольника в заданном масштабе сначала необходимо рассчитать длину известной стороны BC на чертеже.
Масштаб 1 : 6 000 означает, что 1 см на чертеже соответствует 6 000 см (или 60 м) на местности.
Реальная длина стороны BC составляет 300 м.
Длина отрезка BC на чертеже будет: $300 \text{ м} / 6000 = 30000 \text{ см} / 6000 = 5 \text{ см}$.

Порядок построения с помощью линейки и транспортира:
1. Начертить отрезок BC длиной 5 см.
2. В точке B построить угол $ \angle ABC $, равный $60^\circ$.
3. В точке C построить угол $ \angle ACB $, равный $75^\circ$.
4. Точка A — это точка пересечения лучей, построенных в шагах 2 и 3. Полученный треугольник ABC и есть искомое изображение.

Измерение длины изображения отрезка AB

После выполнения построения, измеряем длину стороны AB на чертеже с помощью линейки.
Результат измерения длины отрезка AB на чертеже составляет приблизительно 6,8 см.

Ответ: Длина изображения отрезка AB примерно равна 6,8 см.

Вычисление расстояния между домами A и B

Точное расстояние между домами A и B (длину стороны AB) можно вычислить с помощью теоремы синусов.

1. Найдем величину третьего угла треугольника, угла A. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$ \angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (60^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ $.

2. Применим теорему синусов:
$ \frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} $

3. Выразим AB и подставим известные значения:
$ AB = \frac{BC \cdot \sin(\angle C)}{\sin(\angle A)} = \frac{300 \cdot \sin(75^\circ)}{\sin(45^\circ)} $

4. Подставим точные значения синусов: $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.
$ AB = \frac{300 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 300 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 150 \cdot \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{2}} = 150(\sqrt{3} + 1) $ м.

5. Вычислим приближенное значение:
$ AB \approx 150 \cdot (1.732 + 1) = 150 \cdot 2.732 \approx 409.8 \text{ м} $.
Этот результат хорошо согласуется с результатом, полученным из измерений на чертеже ($6.8 \text{ см} \times 6000 = 40800 \text{ см} = 408 \text{ м}$).

Ответ: Расстояние между домами A и B составляет $150(\sqrt{3} + 1)$ м, что приблизительно равно 409,8 м.