Номер 1390, страница 307 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Упражнения для повторения курса математики - номер 1390, страница 307.

Условие.

1390. Стороны прямоугольника равны 20 см и 10 см. Одну сторону увеличи-ли на 20 %, а соседнюю уменьшили на 20 %. Увеличилась или умень-шилась площадь прямоугольника и на сколько процентов? Имеет ли значение, какую сторону увеличили, а какую — уменьшили? Ответ обоснуйте, решив задачу в общем виде.

Решение.

Решение 2.

Увеличилась или уменьшилась площадь прямоугольника и на сколько процентов?

Сначала найдем начальную площадь прямоугольника. Пусть стороны равны $a_0 = 20$ см и $b_0 = 10$ см.

Начальная площадь $S_0$ равна произведению сторон:

$S_0 = a_0 \cdot b_0 = 20 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 200 \text{ см}^2$.

Теперь изменим стороны согласно условию. Увеличим одну сторону (например, $a_0$) на 20%, а другую ($b_0$) уменьшим на 20%.

Новая длина первой стороны $a_1$:

$a_1 = a_0 + a_0 \cdot \frac{20}{100} = 20 + 20 \cdot 0.2 = 20 + 4 = 24 \text{ см}$.

Новая длина второй стороны $b_1$:

$b_1 = b_0 - b_0 \cdot \frac{20}{100} = 10 - 10 \cdot 0.2 = 10 - 2 = 8 \text{ см}$.

Найдем новую площадь прямоугольника $S_1$:

$S_1 = a_1 \cdot b_1 = 24 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 192 \text{ см}^2$.

Сравним начальную и новую площади: $S_1 = 192 \text{ см}^2 < S_0 = 200 \text{ см}^2$. Площадь уменьшилась.

Найдем, на сколько процентов уменьшилась площадь. Разница площадей составляет $S_0 - S_1 = 200 - 192 = 8 \text{ см}^2$.

Процентное изменение равно отношению разницы к начальной площади, умноженному на 100%:

$\frac{S_0 - S_1}{S_0} \cdot 100\% = \frac{8}{200} \cdot 100\% = 0.04 \cdot 100\% = 4\%$.

Ответ: Площадь прямоугольника уменьшилась на 4%.

Имеет ли значение, какую сторону увеличили, а какую — уменьшили? Ответ обоснуйте, решив задачу в общем виде.

Чтобы ответить на этот вопрос, решим задачу в общем виде. Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а процент изменения равен $p\%$.

Начальная площадь: $S = a \cdot b$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: сторону $a$ увеличили на $p\%$, а сторону $b$ уменьшили на $p\%$.

Новые стороны: $a' = a(1 + \frac{p}{100})$ и $b' = b(1 - \frac{p}{100})$.

Новая площадь: $S' = a' \cdot b' = a(1 + \frac{p}{100}) \cdot b(1 - \frac{p}{100}) = ab(1 + \frac{p}{100})(1 - \frac{p}{100})$.

Случай 2: сторону $a$ уменьшили на $p\%$, а сторону $b$ увеличили на $p\%$.

Новые стороны: $a'' = a(1 - \frac{p}{100})$ и $b'' = b(1 + \frac{p}{100})$.

Новая площадь: $S'' = a'' \cdot b'' = a(1 - \frac{p}{100}) \cdot b(1 + \frac{p}{100}) = ab(1 - \frac{p}{100})(1 + \frac{p}{100})$.

Поскольку умножение коммутативно, $S' = S''$. Это доказывает, что не имеет значения, какую сторону увеличивать, а какую уменьшать — результат будет одинаковым.

Теперь обоснуем, почему площадь всегда уменьшается, и найдем общее процентное изменение. Используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$ для выражения новой площади:

$S_{новая} = ab\left(1^2 - \left(\frac{p}{100}\right)^2\right) = ab\left(1 - \frac{p^2}{10000}\right)$.

Поскольку $p > 0$, то $p^2 > 0$, и $\frac{p^2}{10000} > 0$. Следовательно, множитель $\left(1 - \frac{p^2}{10000}\right)$ всегда меньше 1. Это означает, что новая площадь $S_{новая}$ всегда будет меньше начальной площади $S = ab$.

Найдем процентное уменьшение площади:

$\frac{S - S_{новая}}{S} \cdot 100\% = \frac{ab - ab(1 - \frac{p^2}{10000})}{ab} \cdot 100\% = \frac{ab(1 - (1 - \frac{p^2}{10000}))}{ab} \cdot 100\% = \frac{p^2}{10000} \cdot 100\% = \frac{p^2}{100}\%$.

Таким образом, площадь всегда уменьшается на $\frac{p^2}{100}\%$. Для $p=20$ это составляет $\frac{20^2}{100}\% = \frac{400}{100}\% = 4\%$, что совпадает с результатом для конкретных значений.

Ответ: Нет, не имеет значения, какую сторону увеличили, а какую уменьшили. Результат будет одинаковым. Обоснование в общем виде показывает, что площадь прямоугольника в любом случае уменьшится на $\frac{p^2}{100}\%$, где $p$ — заданный процент изменения сторон.