Номер 1445, страница 314 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Упражнения для повторения курса математики - номер 1445, страница 314.

Условие.

1445. В шахматном турнире принимали участие 12 игроков. Турнир проходил по круговой системе, т. е. каждый участник турнира играл с другими по одному разу. Сколько всего было сыграно шахматных партий?

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти общее количество сыгранных партий в турнире, который проходит по круговой системе, необходимо вычислить, сколько уникальных пар можно составить из 12 участников. Каждая такая пара соответствует одной шахматной партии, так как каждый участник играет с каждым другим ровно один раз.

Эта задача решается с помощью комбинаторики, а именно — нахождения числа сочетаний. Нам нужно найти, сколькими способами можно выбрать 2 игроков из 12, при этом порядок игроков в паре не имеет значения. Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит следующим образом:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, общее число игроков $n=12$, а в каждой партии участвуют $k=2$ игрока. Подставим эти значения в формулу:
$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \times 11 \times 10!}{2 \times 1 \times 10!} = \frac{12 \times 11}{2}$
$C_{12}^2 = \frac{132}{2} = 66$

Существует и другой способ рассуждения. Каждый из 12 игроков должен сыграть с 11-ю другими игроками. Если мы просто умножим $12$ на $11$, мы получим $132$. Однако при таком подходе каждая партия будет посчитана дважды (например, партия между игроком А и игроком Б, и партия между игроком Б и игроком А — это одна и та же игра). Следовательно, для получения правильного числа партий, результат необходимо разделить на 2:
Количество партий = $\frac{12 \times (12-1)}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = \frac{132}{2} = 66$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 66