Номер 4, страница 54 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 9. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 4, страница 54.

Условие.

4. Как сравнить две дроби с разными знаменателями?

Решение.

Решение 2.

Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. После этого сравниваются их числители. Дробь с большим числителем будет больше.

Способ 1: Приведение к общему знаменателю

Это основной и наиболее универсальный метод.

1. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для данных дробей. Он равен наименьшему общему кратному (НОК) их знаменателей.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Для этого нужно разделить НОЗ на знаменатель каждой дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. В результате получатся дроби, равные исходным, но с одинаковым знаменателем.
4. Сравнить полученные дроби: больше та, у которой числитель больше.

Пример: Сравним дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{5}{6} $.

1. Знаменатели 4 и 6. Находим их наименьшее общее кратное: НОК(4, 6) = 12. Это и будет наименьший общий знаменатель.
2. Дополнительный множитель для первой дроби: $ 12 \div 4 = 3 $.
3. Дополнительный множитель для второй дроби: $ 12 \div 6 = 2 $.
4. Приводим дроби к общему знаменателю:
   $ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $
   $ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12} $
5. Теперь сравниваем полученные дроби $ \frac{9}{12} $ и $ \frac{10}{12} $. Так как знаменатели одинаковы, сравниваем числители: $ 9 < 10 $.
6. Следовательно, $ \frac{9}{12} < \frac{10}{12} $, а значит $ \frac{3}{4} < \frac{5}{6} $.

Ответ: Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю, а затем сравнить числители.

Способ 2: Перекрестное умножение

Этот метод является быстрым способом сравнения, особенно когда не требуется находить сами преобразованные дроби.

Чтобы сравнить две дроби $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{c}{d} $, нужно сравнить произведения числителя первой дроби на знаменатель второй ($ a \cdot d $) и числителя второй дроби на знаменатель первой ($ c \cdot b $).

• Если $ a \cdot d > c \cdot b $, то $ \frac{a}{b} > \frac{c}{d} $.
• Если $ a \cdot d < c \cdot b $, то $ \frac{a}{b} < \frac{c}{d} $.
• Если $ a \cdot d = c \cdot b $, то $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $.

Пример: Сравним те же дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{5}{6} $.

Сравниваем произведения: $ 3 \cdot 6 $ и $ 5 \cdot 4 $.

$ 3 \cdot 6 = 18 $

$ 5 \cdot 4 = 20 $

Так как $ 18 < 20 $, то и исходная дробь слева меньше дроби справа: $ \frac{3}{4} < \frac{5}{6} $.

Ответ: Можно сравнить произведения числителя одной дроби на знаменатель другой ("крест-накрест"); знак неравенства между произведениями будет таким же, как и между дробями.