Номер 4, страница 69 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 11. Умножение дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 4, страница 69.

Условие.

4. Какие свойства умножения выполняются при умножении дробей?

Решение.

Решение 2.

При умножении дробей выполняются те же свойства, что и при умножении натуральных чисел. Основные свойства умножения дробей следующие:

Переместительное свойство

Это свойство утверждает, что от перемены мест множителей-дробей их произведение не изменяется. Для любых дробей $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{c}{d} $ справедливо равенство:

$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b} $

Пример:

$ \frac{2}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 5} = \frac{6}{35} $

$ \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 7} = \frac{6}{35} $

Поскольку результаты равны, свойство выполняется.

Ответ: Переместительное свойство.

Сочетательное свойство

Это свойство позволяет группировать множители в произвольном порядке. Чтобы произведение двух дробей умножить на третью, можно первую дробь умножить на произведение второй и третьей. Для любых дробей $ \frac{a}{b} $, $ \frac{c}{d} $ и $ \frac{e}{f} $ справедливо равенство:

$ \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\right) \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}\right) $

Пример:

$ \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}\right) \cdot \frac{5}{7} = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56} $

$ \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{7}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{28} = \frac{15}{56} $

Поскольку результаты равны, свойство выполняется.

Ответ: Сочетательное свойство.

Распределительное свойство

Чтобы умножить дробь на сумму (или разность) двух других дробей, нужно умножить эту дробь на каждое слагаемое (или на уменьшаемое и вычитаемое) и сложить (или вычесть) полученные произведения. Для любых дробей $ \frac{a}{b} $, $ \frac{c}{d} $ и $ \frac{e}{f} $ справедливы равенства:

$ \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d} + \frac{e}{f}\right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \cdot \frac{e}{f} $

$ \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d} - \frac{e}{f}\right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} - \frac{a}{b} \cdot \frac{e}{f} $

Пример для сложения:

$ \frac{2}{5} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = \frac{2}{5} \cdot \left(\frac{2}{4} + \frac{1}{4}\right) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} $

$ \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{10} + \frac{2}{20} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} $

Поскольку результаты равны, свойство выполняется.

Ответ: Распределительное свойство.

Свойство умножения на единицу

При умножении любой дроби на единицу ($1$) в результате получается та же самая дробь. Единицу можно представить как дробь $ \frac{1}{1} $.

$ \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{1} = \frac{a \cdot 1}{b \cdot 1} = \frac{a}{b} $

Пример:

$ \frac{4}{9} \cdot 1 = \frac{4}{9} $

Ответ: Свойство умножения на единицу.

Свойство умножения на ноль

При умножении любой дроби на ноль ($0$) в результате всегда получается ноль. Ноль можно представить как дробь $ \frac{0}{1} $.

$ \frac{a}{b} \cdot 0 = \frac{a}{b} \cdot \frac{0}{1} = \frac{a \cdot 0}{b \cdot 1} = \frac{0}{b} = 0 $

Пример:

$ \frac{7}{11} \cdot 0 = 0 $

Ответ: Свойство умножения на ноль.