Номер 332, страница 67 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 332, страница 67.

Условие.

332. Серёжа и Саша играют в такую игру: они по очереди берут камешки из кучки, в которой лежит 100 камешков. За один ход каждому разрешается взять или 1 камешек, или 3. Кто из них возьмёт последний камешек, если игру начинает Серёжа?

Решение.

Решение 2.

Это задача на теорию игр, и её можно решить, найдя выигрышную стратегию для одного из игроков. В этой игре побеждает тот, кто забирает последний камешек.

Выигрышная стратегия в данном случае есть у второго игрока (Саши). Она заключается в том, чтобы после каждого своего хода оставлять в кучке количество камешков, кратное 4.

Рассмотрим, как работает эта стратегия.

Изначально в кучке 100 камешков. Число 100 делится на 4 ($100 = 4 \times 25$). Это означает, что начальная позиция уже является "проигрышной" для первого игрока, если второй игрок знает верную стратегию.

1. Первый ход делает Серёжа. Он может взять 1 или 3 камешка.
- Если Серёжа берет 1 камешек, в кучке остается $100 - 1 = 99$ камешков.
- Если Серёжа берет 3 камешка, в кучке остается $100 - 3 = 97$ камешков.В обоих случаях количество оставшихся камешков не делится на 4.

2. Ответный ход делает Саша. Её задача — снова сделать количество камней кратным 4.
- Если Серёжа оставил 99 камешков (остаток от деления на 4 равен 3), Саша берет 3 камешка. Остается $99 - 3 = 96$. Число 96 кратно 4 ($96 = 4 \times 24$).
- Если Серёжа оставил 97 камешков (остаток от деления на 4 равен 1), Саша берет 1 камешек. Остается $97 - 1 = 96$. Число 96 снова кратно 4.

Таким образом, после хода Серёжи количество камней в кучке всегда будет иметь остаток 1 или 3 при делении на 4, а Саша своим ответным ходом всегда может сделать это количество кратным 4. За каждый полный раунд (ход Серёжи и ход Саши) из кучки убирается ровно 4 камешка.

3. Завершение игры.Поскольку количество камней постоянно уменьшается, игра в итоге подойдет к концу. Наступит момент, когда после хода Саши в кучке останется 4 камешка, и будет очередь хода Серёжи.
- Если Серёжа возьмет 1 камешек, останется 3. Саша забирает оставшиеся 3 камешка и выигрывает.
- Если Серёжа возьмет 3 камешка, останется 1. Саша забирает этот 1 камешек и выигрывает.

Следовательно, придерживаясь этой стратегии, Саша гарантированно побеждает.

Ответ: Последний камешек возьмёт Саша.