Номер 4, страница 123 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 20. Пропорции. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 4, страница 123.

Условие.

4. Как проверить, образуют ли отношения $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{c}{d} $ пропорцию?

Решение.

Решение 2.

Пропорция – это равенство двух отношений. Чтобы проверить, образуют ли отношения $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{c}{d} $ пропорцию, то есть, верно ли равенство $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, можно использовать несколько способов.

Способ 1: Использование основного свойства пропорции

Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов. В пропорции $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ (или $ a : b = c : d $) числа $ a $ и $ d $ являются крайними членами, а $ b $ и $ c $ – средними. Следовательно, чтобы проверить, является ли равенство пропорцией, нужно вычислить произведения и сравнить их:

$ a \cdot d = b \cdot c $

Если это равенство выполняется, то отношения образуют пропорцию. Этот метод также называют «перекрестным умножением».

Пример: Проверим, образуют ли пропорцию отношения $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{12}{21} $.
Здесь $ a=4, b=7, c=12, d=21 $.
Произведение крайних членов: $ a \cdot d = 4 \cdot 21 = 84 $.
Произведение средних членов: $ b \cdot c = 7 \cdot 12 = 84 $.
Поскольку $ 84 = 84 $, отношения образуют пропорцию.

Ответ: Проверить, равно ли произведение крайних членов ($ a \cdot d $) произведению средних членов ($ b \cdot c $).

Способ 2: Вычисление десятичных значений отношений

Можно разделить числитель на знаменатель для каждого отношения и сравнить полученные десятичные дроби. Если они равны, то отношения образуют пропорцию.

Пример: Проверим, образуют ли пропорцию отношения $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{15}{20} $.
Вычисляем значение первого отношения: $ 3 \div 4 = 0.75 $.
Вычисляем значение второго отношения: $ 15 \div 20 = 0.75 $.
Так как $ 0.75 = 0.75 $, отношения образуют пропорцию. Этот способ удобен, когда деление легко выполняется на калькуляторе или в уме.

Ответ: Вычислить значения дробей $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{c}{d} $ и сравнить полученные результаты.

Способ 3: Сокращение дробей

Каждое отношение можно представить в виде дроби и сократить ее до несократимого вида (упростить). Если в результате получаются одинаковые дроби, то исходные отношения образуют пропорцию.

Пример: Проверим, образуют ли пропорцию отношения $ \frac{18}{24} $ и $ \frac{21}{28} $.
Сокращаем первую дробь: $ \frac{18}{24} $. Наибольший общий делитель для 18 и 24 равен 6. Делим числитель и знаменатель на 6: $ \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4} $.
Сокращаем вторую дробь: $ \frac{21}{28} $. Наибольший общий делитель для 21 и 28 равен 7. Делим числитель и знаменатель на 7: $ \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac{3}{4} $.
Обе дроби сокращаются к $ \frac{3}{4} $, значит, исходные отношения образуют пропорцию.

Ответ: Привести обе дроби к несократимому виду и сравнить их.