Номер 6, страница 138 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 22. Прямая и обратная пропорциональные зависимости. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 6, страница 138.

Условие.

6. Приведите примеры обратно пропорциональных величин.

Решение.

Решение 2.

Обратно пропорциональными называются две величины, при увеличении (или уменьшении) одной из которых в несколько раз, другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз. Произведение таких величин всегда является постоянной величиной (константой). Математически эта зависимость выражается формулой $y = \frac{k}{x}$, где $x$ и $y$ — это обратно пропорциональные величины, а $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности. Это означает, что их произведение $x \cdot y = k$ всегда постоянно.

Пример 1: Скорость и время движения на фиксированном расстоянии

Если расстояние, которое необходимо преодолеть, является постоянным, то скорость движения и время, затраченное на путь, являются обратно пропорциональными величинами. Пусть расстояние $S$ постоянно. Тогда время $t$ можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $v$ — скорость. Чем выше скорость, тем меньше времени потребуется на преодоление этого расстояния. Например, если расстояние составляет 120 км, то при скорости 60 км/ч время в пути будет $120 / 60 = 2$ часа, а при скорости 120 км/ч время сократится до $120 / 120 = 1$ часа. Произведение скорости на время всегда равно расстоянию: $v \cdot t = S = \text{const}$.

Ответ: Скорость и время при постоянном расстоянии.

Пример 2: Количество работников и время выполнения работы

При выполнении фиксированного объема работы количество работников и время, необходимое для завершения этой работы, находятся в обратной пропорциональности (при условии, что все работники имеют одинаковую производительность). Если $A$ — это общий объем работы, $N$ — количество работников, а $T$ — время, то $A = N \cdot T$. Отсюда $T = \frac{A}{N}$. Если увеличить количество работников, время на выполнение той же работы уменьшится. Например, если 3 маляра могут покрасить забор за 6 часов, то 6 маляров справятся с той же работой за 3 часа. Произведение количества работников на время остается постоянным.

Ответ: Количество работников и время выполнения фиксированного объема работы.

Пример 3: Цена товара и его количество, которое можно купить на определенную сумму

Если у вас есть фиксированная сумма денег, то цена одного товара и количество этого товара, которое вы можете купить, являются обратно пропорциональными. Пусть $B$ — это ваш бюджет, $p$ — цена за единицу товара, а $q$ — количество товара. Тогда $B = p \cdot q$, и, следовательно, $q = \frac{B}{p}$. Чем выше цена товара, тем меньшее его количество можно приобрести на ту же сумму. Например, на 500 рублей можно купить 10 плиток шоколада по 50 рублей за штуку, но только 5 плиток, если их цена вырастет до 100 рублей.

Ответ: Цена товара и его количество при фиксированном бюджете.

Пример 4: Длина и ширина прямоугольника при постоянной площади

Для прямоугольника с заданной площадью $S$ его длина $a$ и ширина $b$ являются обратно пропорциональными величинами. Площадь находится по формуле $S = a \cdot b$. Если площадь постоянна, то при увеличении длины ширина должна уменьшаться, и наоборот. Например, если площадь прямоугольника равна 36 см², его стороны могут быть 4 см и 9 см, или 3 см и 12 см, или 2 см и 18 см.

Ответ: Длина и ширина прямоугольника при постоянной площади.

Пример 5: Давление и объем газа при постоянной температуре (Закон Бойля-Мариотта)

В физике, согласно закону Бойля-Мариотта, для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления $P$ на объем $V$ есть величина постоянная: $P \cdot V = \text{const}$. Это означает, что давление и объем газа обратно пропорциональны. Если уменьшить объем, в котором находится газ (например, сжать поршень в цилиндре), его давление увеличится во столько же раз.

Ответ: Давление и объем газа при постоянной температуре.