Номер 660, страница 132 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Процентное отношение двух чисел. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 660, страница 132.

Условие.

660. Из пункта А в 6 ч утра вышел турист. Вечером он дошёл до пункта В и, переночевав, снова в 6 ч утра отправился в пункт А. Докажите, что на маршруте есть такой пункт С, в котором турист оказался в одно и то же время как в первый, так и во второй день (скорость туриста на маршруте могла меняться).

Решение.

Решение 2.

Для доказательства существования такой точки C можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них: наглядный (графический) и строгий (алгебраический).

Наглядное доказательство (метод "двух туристов")

Представим себе, что в одно и то же утро, в 6 часов, из пункта А в пункт B выходит турист (назовем его Турист 1), а из пункта B в пункт A выходит его "двойник" (Турист 2). Турист 1 в точности повторяет движение реального туриста в первый день, а Турист 2 — движение реального туриста во второй день. Поскольку реальный турист в оба дня выходил в 6 утра, это корректная модель.

В начальный момент времени (6:00) Турист 1 находится в пункте A, а Турист 2 — в пункте B. В конечный момент времени (когда оба завершат свои маршруты) их положения будут противоположными: Турист 1 окажется в пункте B, а Турист 2 — в пункте A.

Так как оба туриста движутся по одному и тому же маршруту непрерывно (не могут телепортироваться), то неизбежно наступит момент времени, когда они встретятся в некоторой точке C. В этот момент времени их положение на маршруте будет одинаковым. А поскольку их движения — это точные копии движений реального туриста в первый и второй день, то это и доказывает, что существует точка C, в которой реальный турист оказался в одно и то же время как в первый, так и во второй день.

Строгое математическое доказательство

Этот подход формализует изложенную выше идею с помощью функций.

1. Введем переменные. Пусть $L$ — это расстояние между пунктами A и B. Пусть время $t$ отсчитывается от 6 часов утра. То есть $t=0$ соответствует 6:00.

2. Опишем движение функциями.

• Пусть $d_1(t)$ — это расстояние туриста от пункта A в момент времени $t$ в первый день.
• Пусть $d_2(t)$ — это расстояние туриста от пункта A в момент времени $t$ во второй день.

Движение туриста непрерывно, поэтому функции $d_1(t)$ и $d_2(t)$ являются непрерывными.

3. Рассмотрим условия. В первый день турист идет из A в B. Это значит, что в 6 утра ($t=0$) он находится в A, а в момент прибытия $T_1$ он находится в B. $d_1(0) = 0$ и $d_1(T_1) = L$. Во второй день турист идет из B в A. Это значит, что в 6 утра ($t=0$) он находится в B, а в момент прибытия $T_2$ он находится в A. $d_2(0) = L$ и $d_2(T_2) = 0$.

4. Введем вспомогательную функцию. Рассмотрим новую функцию $f(t) = d_1(t) - d_2(t)$. Эта функция показывает разность расстояний от пункта A в момент времени $t$ в первый и второй день. Так как $d_1(t)$ и $d_2(t)$ непрерывны, то их разность $f(t)$ также является непрерывной функцией.

5. Применим теорему о промежуточном значении (Теорема Больцано — Коши). Найдем значения функции $f(t)$ в начальный момент времени $t=0$: $f(0) = d_1(0) - d_2(0) = 0 - L = -L$. Это значение отрицательное ($L > 0$).

Теперь рассмотрим конечный момент. Пусть путешествие в первый день заняло время $T_1$, а во второй — $T_2$. Возьмем $T = \max(T_1, T_2)$. На отрезке времени $[0, T]$ обе функции определены (если турист пришел раньше, будем считать, что он остался в конечной точке). Найдем значение функции $f(T)$: $f(T) = d_1(T) - d_2(T) = L - 0 = L$. Это значение положительное.

Итак, у нас есть непрерывная функция $f(t)$ на отрезке $[0, T]$, которая принимает на его концах значения разных знаков: $f(0) = -L < 0$ и $f(T) = L > 0$. Согласно теореме о промежуточном значении, должна существовать хотя бы одна точка $t_c$ внутри этого отрезка, в которой функция обращается в ноль: $f(t_c) = 0$.

6. Сделаем вывод. Равенство $f(t_c) = 0$ означает, что $d_1(t_c) - d_2(t_c) = 0$, или $d_1(t_c) = d_2(t_c)$. Это и означает, что в момент времени $t_c$ (то есть, в 6:00 + $t_c$) турист в первый и во второй день находился на одинаковом расстоянии от пункта A. Это место и есть искомый пункт C. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Существование такой точки следует из свойства непрерывности движения. Если рассмотреть графики зависимости расстояния от пункта А от времени для первого и второго дня, то первый график начнется в точке (6:00, 0) и закончится в точке (время прибытия 1, L), а второй — начнется в (6:00, L) и закончится в (время прибытия 2, 0). Так как оба графика являются непрерывными линиями, они обязательно пересекутся. Точка их пересечения и соответствует моменту времени и месту (пункт C), где турист был в одно и то же время в оба дня.