Номер 6, страница 198 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 32. Модуль числа. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 6, страница 198.

Условие.

6. Что можно сказать о модулях противоположных чисел?

Решение.

Решение 2.

Противоположными числами называют два числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Например, 5 и -5; -1,2 и 1,2; $a$ и $-a$. Число 0 противоположно самому себе.

Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Поскольку расстояние не может быть отрицательным, модуль любого числа является неотрицательной величиной. Модуль числа $x$ обозначается как $|x|$.

Рассмотрим, чему равны модули противоположных чисел. Возьмем произвольное число $a$ и противоположное ему число $-a$. Геометрически эти два числа находятся на одинаковом расстоянии от точки 0 на числовой оси, но по разные стороны от нее (за исключением числа 0).

Например, числа 8 и -8. Расстояние от 8 до 0 равно 8, значит $|8| = 8$. Расстояние от -8 до 0 также равно 8, значит $|-8| = 8$. Таким образом, $|8| = |-8|$.

Это справедливо для любой пары противоположных чисел. Для любого числа $a$ верно равенство: $|a| = |-a|$.

Это следует и из алгебраического определения модуля:
$ |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases} $
Рассмотрим все случаи:
1. Если $a > 0$, то $-a < 0$. Тогда $|a| = a$, а $|-a| = -(-a) = a$. Значит, $|a| = |-a|$.
2. Если $a < 0$, то $-a > 0$. Тогда $|a| = -a$, а $|-a| = -a$. Значит, $|a| = |-a|$.
3. Если $a = 0$, то $|0| = 0$ и $|-0| = |0| = 0$. Значит, $|0| = |-0|$.
Во всех случаях модули противоположных чисел оказываются равными.

Ответ: Модули противоположных чисел равны.