Номер 2, страница 262 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 44. Осевая и центральная симметрии. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 2, страница 262.

Условие.

2. Опишите построение точки, симметричной данной точке $M$ относительно данной прямой $l$.

Решение.

Решение 2.

Построение точки $M'$, симметричной данной точке $M$ относительно данной прямой $l$, выполняется с помощью циркуля и линейки без делений. По определению, точка $M'$ симметрична точке $M$ относительно прямой $l$, если прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$.

Рассмотрим два возможных случая расположения точки $M$ относительно прямой $l$.

Случай 1: Точка $M$ не лежит на прямой $l$.

Алгоритм построения искомой точки $M'$ состоит из следующих шагов:

1. Установить иглу циркуля в точку $M$ и провести окружность (или дугу) такого радиуса, чтобы она пересекла прямую $l$ в двух различных точках. Обозначим эти точки как $A$ и $B$.
2. Не меняя раствора циркуля (или выбрав новый, но одинаковый для обоих построений), установить иглу циркуля сначала в точку $A$, а затем в точку $B$, и провести две дуги так, чтобы они пересеклись с той стороны от прямой $l$, где не лежит точка $M$.
3. Точка пересечения этих двух дуг и есть искомая точка $M'$.

Доказательство корректности построения:

Рассмотрим треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle AM'B$.

• По построению, $MA = MB$, так как точки $A$ и $B$ лежат на одной окружности с центром в $M$.
• По построению, $M'A = M'B$, так как точка $M'$ является пересечением двух окружностей с центрами в $A$ и $B$ и одинаковыми радиусами.

Таким образом, точки $M$ и $M'$ равноудалены от концов отрезка $AB$. Согласно свойству серединного перпендикуляра, любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Следовательно, обе точки $M$ и $M'$ лежат на прямой, являющейся серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Обозначим эту прямую $m$. Значит, прямая $MM'$ (то есть прямая $m$) перпендикулярна отрезку $AB$, а следовательно, и всей прямой $l$, на которой лежит этот отрезок ($MM' \perp l$).

Теперь докажем, что прямая $l$ делит отрезок $MM'$ пополам. Рассмотрим треугольники $\triangle AMA'$ и $\triangle BMB'$. Они равнобедренные ($MA=MB$, $M'A=M'B$). Пусть $O$ — точка пересечения $MM'$ и $l$. В равнобедренном треугольнике $\triangle AMB$ отрезок $MO$ является высотой к основанию $AB$ (так как $MM' \perp l$). Аналогично, в треугольнике $\triangle AM'B$ отрезок $M'O$ является высотой. Если рассмотреть треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle AOM'$, они прямоугольные, имеют общую сторону $AO$, и $AM=AM'$ (если на шаге 2 был выбран радиус, равный $MA$). Тогда по катету и гипотенузе $\triangle AOM = \triangle AOM'$, откуда следует, что $MO=M'O$. Таким образом, прямая $l$ делит отрезок $MM'$ пополам.

Так как $MM' \perp l$ и $MO=M'O$, точка $M'$ является симметричной точке $M$ относительно прямой $l$.

Ответ: Построение выполняется в три шага: 1) Провести окружность с центром в $M$, пересекающую прямую $l$ в точках $A$ и $B$. 2) Провести две окружности с центрами в $A$ и $B$ и одинаковым радиусом до их пересечения по другую сторону от прямой $l$. 3) Точка пересечения является искомой точкой $M'$.

Случай 2: Точка $M$ лежит на прямой $l$.

Если данная точка $M$ лежит на прямой $l$, то по определению симметрии, симметричная ей точка $M'$ совпадает с самой точкой $M$. Отрезок $MM'$ в этом случае вырождается в точку, а условия перпендикулярности и деления пополам выполняются тривиальным образом.

Ответ: Если точка $M$ лежит на прямой $l$, то симметричная ей точка $M'$ совпадает с точкой $M$.