Номер 224, страница 50 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Сокращение дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 224, страница 50.

Условие.

224. Запишите все неправильные несократимые дроби с числителем 20.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи необходимо найти все дроби вида $\frac{20}{n}$, где $n$ — натуральное число, которые удовлетворяют двум условиям: они должны быть неправильными и несократимыми.

1. Условие неправильной дроби
Дробь называется неправильной, если её числитель больше или равен знаменателю. В данном случае числитель равен 20, а знаменатель — $n$. Таким образом, должно выполняться неравенство: $20 \ge n$. Поскольку знаменатель дроби должен быть натуральным числом, то $n \ge 1$. Следовательно, знаменатель $n$ может принимать любые целые значения от 1 до 20 включительно.

2. Условие несократимой дроби
Дробь называется несократимой, если её числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Для дроби $\frac{20}{n}$ это означает, что $НОД(20, n) = 1$.

Чтобы найти значения $n$, взаимно простые с 20, разложим число 20 на простые множители: $20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$. Простые делители числа 20 — это 2 и 5. Чтобы число $n$ было взаимно простым с 20, оно не должно делиться ни на 2, ни на 5.

Поиск подходящих знаменателей
Теперь выберем из всех натуральных чисел от 1 до 20 те, которые не делятся ни на 2, ни на 5. Такими числами являются: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19.

Запишем все дроби с числителем 20 и найденными знаменателями: $\frac{20}{1}, \frac{20}{3}, \frac{20}{7}, \frac{20}{9}, \frac{20}{11}, \frac{20}{13}, \frac{20}{17}, \frac{20}{19}$.

Ответ: $\frac{20}{1}, \frac{20}{3}, \frac{20}{7}, \frac{20}{9}, \frac{20}{11}, \frac{20}{13}, \frac{20}{17}, \frac{20}{19}$.