Номер 239, страница 55 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 239, страница 55.

Условие.

239. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

1) $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{6} $;

2) $ \frac{4}{9} $ и $ \frac{7}{12} $;

3) $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{7}{18} $;

4) $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{4}{15} $;

5) $ \frac{2}{15} $ и $ \frac{11}{12} $;

6) $ \frac{1}{12} $ и $ \frac{1}{18} $;

7) $ \frac{1}{24} $ и $ \frac{1}{18} $;

8) $ \frac{3}{10} $, $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{3}{4} $.

Решение.

Решение 2.

1) Для дробей $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{6} $ наименьший общий знаменатель — это наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, то есть НОК(4, 6).
НОК(4, 6) = 12.
Приведем дроби к знаменателю 12, найдя для каждой дополнительный множитель:
Для $ \frac{1}{4} $: $ 12 \div 4 = 3 $. Получаем: $ \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} $.
Для $ \frac{1}{6} $: $ 12 \div 6 = 2 $. Получаем: $ \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12} $.
Ответ: $ \frac{3}{12} $ и $ \frac{2}{12} $.

2) Для дробей $ \frac{4}{9} $ и $ \frac{7}{12} $ наименьшим общим знаменателем будет НОК(9, 12).
Разложим знаменатели на простые множители: $ 9 = 3^2 $; $ 12 = 2^2 \cdot 3 $.
НОК(9, 12) = $ 2^2 \cdot 3^2 = 36 $.
Приведем дроби к знаменателю 36:
$ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36} $ (дополнительный множитель 4).
$ \frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36} $ (дополнительный множитель 3).
Ответ: $ \frac{16}{36} $ и $ \frac{21}{36} $.

3) Для дробей $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{7}{18} $ наименьший общий знаменатель — это НОК(6, 18).
Так как 18 делится на 6 без остатка ($ 18 \div 6 = 3 $), то НОК(6, 18) = 18.
Дробь $ \frac{7}{18} $ уже имеет нужный знаменатель. Приведем к нему первую дробь:
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18} $ (дополнительный множитель 3).
Ответ: $ \frac{15}{18} $ и $ \frac{7}{18} $.

4) Для дробей $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{4}{15} $ найдем НОК(8, 15).
Числа 8 ($ 2^3 $) и 15 ($ 3 \cdot 5 $) являются взаимно простыми (нет общих делителей, кроме 1).
Поэтому НОК(8, 15) = $ 8 \cdot 15 = 120 $.
Приведем дроби к знаменателю 120:
$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 15}{8 \cdot 15} = \frac{45}{120} $ (дополнительный множитель 15).
$ \frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 8}{15 \cdot 8} = \frac{32}{120} $ (дополнительный множитель 8).
Ответ: $ \frac{45}{120} $ и $ \frac{32}{120} $.

5) Для дробей $ \frac{2}{15} $ и $ \frac{11}{12} $ найдем НОК(15, 12).
Разложим на множители: $ 15 = 3 \cdot 5 $; $ 12 = 2^2 \cdot 3 $.
НОК(15, 12) = $ 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 $.
Приведем дроби к знаменателю 60:
$ \frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{8}{60} $ (дополнительный множитель 4).
$ \frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{55}{60} $ (дополнительный множитель 5).
Ответ: $ \frac{8}{60} $ и $ \frac{55}{60} $.

6) Для дробей $ \frac{1}{12} $ и $ \frac{1}{18} $ найдем НОК(12, 18).
Разложим на множители: $ 12 = 2^2 \cdot 3 $; $ 18 = 2 \cdot 3^2 $.
НОК(12, 18) = $ 2^2 \cdot 3^2 = 36 $.
Приведем дроби к знаменателю 36:
$ \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{3}{36} $ (дополнительный множитель 3).
$ \frac{1}{18} = \frac{1 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{2}{36} $ (дополнительный множитель 2).
Ответ: $ \frac{3}{36} $ и $ \frac{2}{36} $.

7) Для дробей $ \frac{1}{24} $ и $ \frac{1}{18} $ найдем НОК(24, 18).
Разложим на множители: $ 24 = 2^3 \cdot 3 $; $ 18 = 2 \cdot 3^2 $.
НОК(24, 18) = $ 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72 $.
Приведем дроби к знаменателю 72:
$ \frac{1}{24} = \frac{1 \cdot 3}{24 \cdot 3} = \frac{3}{72} $ (дополнительный множитель 3).
$ \frac{1}{18} = \frac{1 \cdot 4}{18 \cdot 4} = \frac{4}{72} $ (дополнительный множитель 4).
Ответ: $ \frac{3}{72} $ и $ \frac{4}{72} $.

8) Для дробей $ \frac{3}{10} $, $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{3}{4} $ найдем НОК(10, 8, 4).
Так как 8 кратно 4, то НОК(10, 8, 4) = НОК(10, 8).
Разложим на множители: $ 10 = 2 \cdot 5 $; $ 8 = 2^3 $.
НОК(10, 8) = $ 2^3 \cdot 5 = 40 $.
Приведем дроби к знаменателю 40:
$ \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{12}{40} $ (дополнительный множитель 4).
$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40} $ (дополнительный множитель 5).
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 10}{4 \cdot 10} = \frac{30}{40} $ (дополнительный множитель 10).
Ответ: $ \frac{12}{40} $, $ \frac{15}{40} $ и $ \frac{30}{40} $.