Номер 242, страница 55 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 242, страница 55.

Условие.

242. Сравните дроби:

1) $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{11}$;

2) $\frac{7}{13}$ и $\frac{7}{16}$;

3) $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{6}$;

4) $\frac{5}{8}$ и $\frac{7}{10}$;

5) $\frac{3}{7}$ и $\frac{9}{21}$;

6) $\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{8}$;

7) $\frac{7}{12}$ и $\frac{11}{18}$;

8) $\frac{10}{21}$ и $\frac{9}{14}$.

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{11}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 6 и 11 равен их произведению, так как они взаимно простые: $6 \cdot 11 = 66$.
Приведем первую дробь к знаменателю 66, умножив числитель и знаменатель на 11: $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 11}{6 \cdot 11} = \frac{55}{66}$.
Приведем вторую дробь к знаменателю 66, умножив числитель и знаменатель на 6: $\frac{7}{11} = \frac{7 \cdot 6}{11 \cdot 6} = \frac{42}{66}$.
Теперь сравним полученные дроби $\frac{55}{66}$ и $\frac{42}{66}$. Так как у них одинаковые знаменатели, сравниваем числители: $55 > 42$.
Следовательно, $\frac{55}{66} > \frac{42}{66}$, а это значит, что $\frac{5}{6} > \frac{7}{11}$.
Ответ: $\frac{5}{6} > \frac{7}{11}$.

2) Сравним дроби $\frac{7}{13}$ и $\frac{7}{16}$. У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Сравниваем знаменатели: $13 < 16$.
Следовательно, $\frac{7}{13} > \frac{7}{16}$.
Ответ: $\frac{7}{13} > \frac{7}{16}$.

3) Чтобы сравнить дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{6}$, приведем их к наименьшему общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 8 и 6. НОК(8, 6) = 24.
Приведем первую дробь к знаменателю 24: $\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$.
Приведем вторую дробь к знаменателю 24: $\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24}$.
Сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{9}{24} > \frac{4}{24}$, так как $9 > 4$.
Следовательно, $\frac{3}{8} > \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{3}{8} > \frac{1}{6}$.

4) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{7}{10}$, приведем их к наименьшему общему знаменателю. НОК(8, 10) = 40.
Приведем дроби к знаменателю 40:
$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{25}{40}$.
$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{28}{40}$.
Сравниваем числители: $25 < 28$.
Следовательно, $\frac{25}{40} < \frac{28}{40}$, а значит $\frac{5}{8} < \frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{5}{8} < \frac{7}{10}$.

5) Сравним дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{9}{21}$. Заметим, что вторую дробь можно сократить. Числитель и знаменатель дроби $\frac{9}{21}$ делятся на 3.
$\frac{9}{21} = \frac{9 \div 3}{21 \div 3} = \frac{3}{7}$.
Таким образом, обе дроби равны.
Следовательно, $\frac{3}{7} = \frac{9}{21}$.
Ответ: $\frac{3}{7} = \frac{9}{21}$.

6) Чтобы сравнить дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{8}$, приведем их к общему знаменателю. Так как 5 и 8 - взаимно простые числа, НОК(5, 8) = $5 \cdot 8 = 40$.
Приведем дроби к знаменателю 40:
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{24}{40}$.
$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{25}{40}$.
Сравниваем числители: $24 < 25$.
Следовательно, $\frac{24}{40} < \frac{25}{40}$, а значит $\frac{3}{5} < \frac{5}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{5} < \frac{5}{8}$.

7) Чтобы сравнить дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{11}{18}$, приведем их к наименьшему общему знаменателю. Найдем НОК(12, 18).
Разложим на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$.
НОК(12, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Приведем дроби к знаменателю 36:
$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}$.
$\frac{11}{18} = \frac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{22}{36}$.
Сравниваем числители: $21 < 22$.
Следовательно, $\frac{21}{36} < \frac{22}{36}$, а значит $\frac{7}{12} < \frac{11}{18}$.
Ответ: $\frac{7}{12} < \frac{11}{18}$.

8) Чтобы сравнить дроби $\frac{10}{21}$ и $\frac{9}{14}$, приведем их к наименьшему общему знаменателю. Найдем НОК(21, 14).
Разложим на простые множители: $21 = 3 \cdot 7$, $14 = 2 \cdot 7$.
НОК(21, 14) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.
Приведем дроби к знаменателю 42:
$\frac{10}{21} = \frac{10 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{20}{42}$.
$\frac{9}{14} = \frac{9 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{27}{42}$.
Сравниваем числители: $20 < 27$.
Следовательно, $\frac{20}{42} < \frac{27}{42}$, а значит $\frac{10}{21} < \frac{9}{14}$.
Ответ: $\frac{10}{21} < \frac{9}{14}$.