Номер 240, страница 55 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 240, страница 55.

Условие.

240. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

1) $\frac{3}{8}$ и $\frac{5}{12}$;

2) $\frac{2}{15}$ и $\frac{3}{10}$;

3) $\frac{10}{17}$ и $\frac{13}{34}$;

4) $\frac{4}{13}$ и $\frac{3}{4}$;

5) $\frac{9}{14}$ и $\frac{2}{21}$;

6) $\frac{1}{20}$ и $\frac{1}{30}$;

7) $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{6}$;

8) $\frac{3}{28}$, $\frac{9}{14}$ и $\frac{7}{8}$.

Решение.

Решение 2.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей. Это число и будет наименьшим общим знаменателем.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель, разделив наименьший общий знаменатель на знаменатель этой дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

1) $\frac{3}{8}$ и $\frac{5}{12}$

Найдем наименьший общий знаменатель, который равен наименьшему общему кратному знаменателей 8 и 12.
Разложим знаменатели на простые множители:
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
НОК(8, 12) = $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.
Дополнительный множитель для дроби $\frac{3}{8}$ равен $24 : 8 = 3$.
Дополнительный множитель для дроби $\frac{5}{12}$ равен $24 : 12 = 2$.
Приведем дроби к знаменателю 24:
$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}$
Ответ: $\frac{9}{24}$ и $\frac{10}{24}$.

2) $\frac{2}{15}$ и $\frac{3}{10}$

Найдем НОК знаменателей 15 и 10.
$15 = 3 \cdot 5$
$10 = 2 \cdot 5$
НОК(15, 10) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
Дополнительные множители: для $\frac{2}{15}$ это $30 : 15 = 2$, для $\frac{3}{10}$ это $30 : 10 = 3$.
$\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{4}{30}$
$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}$
Ответ: $\frac{4}{30}$ и $\frac{9}{30}$.

3) $\frac{10}{17}$ и $\frac{13}{34}$

Найдем НОК знаменателей 17 и 34. Поскольку 34 делится на 17 без остатка ($34 = 17 \cdot 2$), то НОК(17, 34) = 34.
Дополнительный множитель для дроби $\frac{10}{17}$ равен $34 : 17 = 2$.
Дробь $\frac{13}{34}$ уже имеет нужный знаменатель.
$\frac{10}{17} = \frac{10 \cdot 2}{17 \cdot 2} = \frac{20}{34}$
Ответ: $\frac{20}{34}$ и $\frac{13}{34}$.

4) $\frac{4}{13}$ и $\frac{3}{4}$

Найдем НОК знаменателей 13 и 4. Числа 13 и 4 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), поэтому их НОК равно их произведению.
НОК(13, 4) = $13 \cdot 4 = 52$.
Дополнительные множители: для $\frac{4}{13}$ это $52 : 13 = 4$, для $\frac{3}{4}$ это $52 : 4 = 13$.
$\frac{4}{13} = \frac{4 \cdot 4}{13 \cdot 4} = \frac{16}{52}$
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 13}{4 \cdot 13} = \frac{39}{52}$
Ответ: $\frac{16}{52}$ и $\frac{39}{52}$.

5) $\frac{9}{14}$ и $\frac{2}{21}$

Найдем НОК знаменателей 14 и 21.
$14 = 2 \cdot 7$
$21 = 3 \cdot 7$
НОК(14, 21) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.
Дополнительные множители: для $\frac{9}{14}$ это $42 : 14 = 3$, для $\frac{2}{21}$ это $42 : 21 = 2$.
$\frac{9}{14} = \frac{9 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{27}{42}$
$\frac{2}{21} = \frac{2 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{4}{42}$
Ответ: $\frac{27}{42}$ и $\frac{4}{42}$.

6) $\frac{1}{20}$ и $\frac{1}{30}$

Найдем НОК знаменателей 20 и 30.
$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
НОК(20, 30) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
Дополнительные множители: для $\frac{1}{20}$ это $60 : 20 = 3$, для $\frac{1}{30}$ это $60 : 30 = 2$.
$\frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{3}{60}$
$\frac{1}{30} = \frac{1 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{2}{60}$
Ответ: $\frac{3}{60}$ и $\frac{2}{60}$.

7) $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{6}$

Найдем НОК знаменателей 9, 4 и 6.
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
$6 = 2 \cdot 3$
НОК(9, 4, 6) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Дополнительные множители: для $\frac{1}{9}$ это $36 : 9 = 4$, для $\frac{1}{4}$ это $36 : 4 = 9$, для $\frac{1}{6}$ это $36 : 6 = 6$.
$\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{4}{36}$
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{9}{36}$
$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{6}{36}$
Ответ: $\frac{4}{36}$, $\frac{9}{36}$ и $\frac{6}{36}$.

8) $\frac{3}{28}$, $\frac{9}{14}$ и $\frac{7}{8}$

Найдем НОК знаменателей 28, 14 и 8.
$28 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$
$14 = 2 \cdot 7$
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
НОК(28, 14, 8) = $2^3 \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56$.
Дополнительные множители: для $\frac{3}{28}$ это $56 : 28 = 2$, для $\frac{9}{14}$ это $56 : 14 = 4$, для $\frac{7}{8}$ это $56 : 8 = 7$.
$\frac{3}{28} = \frac{3 \cdot 2}{28 \cdot 2} = \frac{6}{56}$
$\frac{9}{14} = \frac{9 \cdot 4}{14 \cdot 4} = \frac{36}{56}$
$\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{49}{56}$
Ответ: $\frac{6}{56}$, $\frac{36}{56}$ и $\frac{49}{56}$.