Номер 288, страница 62 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 288, страница 62.

Условие.

288. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $\frac{3}{7} + \frac{14}{19} + \frac{4}{7} + \frac{5}{19}$;

2) $\frac{7}{16} + \frac{11}{42} + \frac{9}{16} + \frac{17}{42}$;

3) $\frac{5}{18} + \frac{4}{81} + \frac{7}{18} + \frac{5}{81}$;

4) $\frac{9}{40} + \frac{13}{50} + \frac{12}{50} + \frac{11}{40}$;

5) $3\frac{5}{11} + 1\frac{3}{16} + 2\frac{5}{16} + 4\frac{6}{11}$;

6) $1\frac{17}{24} + 3\frac{1}{36} + 5\frac{4}{24} + 2\frac{8}{36}$.

Решение.

Решение 2.

1)
Для наиболее удобного вычисления сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями, используя переместительное и сочетательное свойства сложения:
$ \frac{3}{7} + \frac{14}{19} + \frac{4}{7} + \frac{5}{19} = (\frac{3}{7} + \frac{4}{7}) + (\frac{14}{19} + \frac{5}{19}) $
Выполним сложение в каждой группе:
$ \frac{3}{7} + \frac{4}{7} = \frac{3+4}{7} = \frac{7}{7} = 1 $
$ \frac{14}{19} + \frac{5}{19} = \frac{14+5}{19} = \frac{19}{19} = 1 $
Теперь сложим полученные результаты:
$ 1 + 1 = 2 $
Ответ: 2

2)
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{7}{16} + \frac{11}{42} + \frac{9}{16} + \frac{17}{42} = (\frac{7}{16} + \frac{9}{16}) + (\frac{11}{42} + \frac{17}{42}) $
Выполним сложение в каждой группе:
$ \frac{7}{16} + \frac{9}{16} = \frac{7+9}{16} = \frac{16}{16} = 1 $
$ \frac{11}{42} + \frac{17}{42} = \frac{11+17}{42} = \frac{28}{42} $
Сократим дробь $ \frac{28}{42} $, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 14:
$ \frac{28}{42} = \frac{28 \div 14}{42 \div 14} = \frac{2}{3} $
Сложим полученные результаты:
$ 1 + \frac{2}{3} = 1\frac{2}{3} $
Ответ: $1\frac{2}{3}$

3)
Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{5}{18} + \frac{4}{81} + \frac{7}{18} + \frac{5}{81} = (\frac{5}{18} + \frac{7}{18}) + (\frac{4}{81} + \frac{5}{81}) $
Выполним сложение в скобках:
$ \frac{5}{18} + \frac{7}{18} = \frac{5+7}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $
$ \frac{4}{81} + \frac{5}{81} = \frac{4+5}{81} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9} $
Теперь сложим полученные дроби, приведя их к общему знаменателю 9:
$ \frac{2}{3} + \frac{1}{9} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9} + \frac{1}{9} = \frac{6+1}{9} = \frac{7}{9} $
Ответ: $ \frac{7}{9} $

4)
Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{9}{40} + \frac{13}{50} + \frac{12}{50} + \frac{11}{40} = (\frac{9}{40} + \frac{11}{40}) + (\frac{13}{50} + \frac{12}{50}) $
Вычислим суммы в скобках:
$ \frac{9}{40} + \frac{11}{40} = \frac{9+11}{40} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} $
$ \frac{13}{50} + \frac{12}{50} = \frac{13+12}{50} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2} $
Сложим результаты:
$ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $
Ответ: 1

5)
Сгруппируем смешанные числа, у которых дробные части имеют одинаковые знаменатели. Будем складывать целые и дробные части отдельно.
$ 3\frac{5}{11} + 1\frac{3}{16} + 2\frac{5}{16} + 4\frac{6}{11} = (3\frac{5}{11} + 4\frac{6}{11}) + (1\frac{3}{16} + 2\frac{5}{16}) $
Вычислим сумму первой группы:
$ 3\frac{5}{11} + 4\frac{6}{11} = (3+4) + (\frac{5}{11} + \frac{6}{11}) = 7 + \frac{11}{11} = 7 + 1 = 8 $
Вычислим сумму второй группы:
$ 1\frac{3}{16} + 2\frac{5}{16} = (1+2) + (\frac{3}{16} + \frac{5}{16}) = 3 + \frac{8}{16} = 3 + \frac{1}{2} = 3\frac{1}{2} $
Сложим результаты:
$ 8 + 3\frac{1}{2} = 11\frac{1}{2} $
Ответ: $11\frac{1}{2}$

6)
Сгруппируем смешанные числа с одинаковыми знаменателями в дробных частях:
$ 1\frac{17}{24} + 3\frac{1}{36} + 5\frac{4}{24} + 2\frac{8}{36} = (1\frac{17}{24} + 5\frac{4}{24}) + (3\frac{1}{36} + 2\frac{8}{36}) $
Вычислим сумму в первой группе:
$ 1\frac{17}{24} + 5\frac{4}{24} = (1+5) + (\frac{17}{24} + \frac{4}{24}) = 6 + \frac{21}{24} = 6 + \frac{7}{8} = 6\frac{7}{8} $
Вычислим сумму во второй группе:
$ 3\frac{1}{36} + 2\frac{8}{36} = (3+2) + (\frac{1}{36} + \frac{8}{36}) = 5 + \frac{9}{36} = 5 + \frac{1}{4} = 5\frac{1}{4} $
Сложим полученные смешанные числа:
$ 6\frac{7}{8} + 5\frac{1}{4} = (6+5) + (\frac{7}{8} + \frac{1}{4}) = 11 + (\frac{7}{8} + \frac{2}{8}) = 11 + \frac{9}{8} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $ \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} $.
$ 11 + 1\frac{1}{8} = 12\frac{1}{8} $
Ответ: $12\frac{1}{8}$