Номер 312, страница 65 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 312, страница 65.

Условие.

312. Сравните дроби, не приводя их к общему знаменателю:

1) $ \frac{61}{62} $ и $ \frac{62}{63} $;

2) $ \frac{1003}{1007} $ и $ \frac{103}{107} $.

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы сравнить дроби $\frac{61}{62}$ и $\frac{62}{63}$, не приводя их к общему знаменателю, можно определить, насколько каждая из них меньше единицы. Этот метод называют сравнением "дополнений до единицы".

Найдем, сколько не хватает до единицы первой дроби:
$1 - \frac{61}{62} = \frac{62}{62} - \frac{61}{62} = \frac{1}{62}$

Найдем, сколько не хватает до единицы второй дроби:
$1 - \frac{62}{63} = \frac{63}{63} - \frac{62}{63} = \frac{1}{63}$

Теперь сравним полученные дополнения: $\frac{1}{62}$ и $\frac{1}{63}$.
Из двух дробей с одинаковым числителем больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $62 < 63$, то $\frac{1}{62} > \frac{1}{63}$.

Это означает, что от единицы для получения дроби $\frac{61}{62}$ вычитается большее число, чем для получения дроби $\frac{62}{63}$. Следовательно, первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{61}{62} < \frac{62}{63}$.

2) Сравним дроби $\frac{1003}{1007}$ и $\frac{103}{107}$, используя тот же метод сравнения дополнений до единицы.

Найдем дополнение до единицы для первой дроби:
$1 - \frac{1003}{1007} = \frac{1007}{1007} - \frac{1003}{1007} = \frac{4}{1007}$

Найдем дополнение до единицы для второй дроби:
$1 - \frac{103}{107} = \frac{107}{107} - \frac{103}{107} = \frac{4}{107}$

Теперь сравним полученные дополнения: $\frac{4}{1007}$ и $\frac{4}{107}$.
Из двух дробей с одинаковым числителем (в данном случае 4) больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $1007 > 107$, то $\frac{4}{1007} < \frac{4}{107}$.

Это означает, что от единицы для получения дроби $\frac{1003}{1007}$ вычитается меньшее число, чем для получения дроби $\frac{103}{107}$. Следовательно, первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{1003}{1007} > \frac{103}{107}$.