Номер 316, страница 65 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 316, страница 65.

Условие.

316. При каких наименьших натуральных значениях a и b верно равенство:

1) $\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{a}{2} - \frac{b}{3}$;

2) $\frac{4}{3 \cdot 5} = \frac{a}{3} - \frac{b}{5}?$

Решение.

Решение 2.

1) Исходное равенство: $ \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{a}{2} - \frac{b}{3} $. Необходимо найти наименьшие натуральные значения $a$ и $b$.
Сначала упростим обе части уравнения. Левая часть равна $ \frac{1}{6} $.
Для правой части приведем дроби к общему знаменателю 6: $ \frac{a}{2} - \frac{b}{3} = \frac{3a}{6} - \frac{2b}{6} = \frac{3a - 2b}{6} $.
Теперь приравняем обе части: $ \frac{1}{6} = \frac{3a - 2b}{6} $.
Из этого следует, что числители равны: $ 1 = 3a - 2b $.
Нам нужно найти наименьшие натуральные числа $a$ и $b$ (то есть $a \ge 1$ и $b \ge 1$), удовлетворяющие этому уравнению.
Выразим $a$ через $b$: $3a = 2b + 1$, откуда $a = \frac{2b + 1}{3}$.
Чтобы $a$ было целым числом, выражение $2b + 1$ должно быть кратно 3. Проверим наименьшие натуральные значения для $b$, начиная с 1:
- При $b = 1$, получаем $a = \frac{2(1) + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Это натуральное число.
Поскольку мы начали с наименьшего возможного натурального значения для $b$ и сразу получили натуральное значение для $a$, пара $a=1, b=1$ является искомым решением.
Проверка: $ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6} $. Равенство верно.
Ответ: $a=1, b=1$.

2) Исходное равенство: $ \frac{4}{3 \cdot 5} = \frac{a}{3} - \frac{b}{5} $. Необходимо найти наименьшие натуральные значения $a$ и $b$.
Упростим левую часть: $ \frac{4}{15} $.
Приведем правую часть к общему знаменателю 15: $ \frac{a}{3} - \frac{b}{5} = \frac{5a}{15} - \frac{3b}{15} = \frac{5a - 3b}{15} $.
Приравняем обе части: $ \frac{4}{15} = \frac{5a - 3b}{15} $.
Отсюда следует равенство числителей: $ 4 = 5a - 3b $.
Нам нужно найти наименьшие натуральные числа $a$ и $b$ ($a \ge 1, b \ge 1$), удовлетворяющие этому уравнению.
Выразим $b$ через $a$: $3b = 5a - 4$, откуда $b = \frac{5a - 4}{3}$.
Поскольку $b$ должно быть натуральным числом, $b \ge 1$. Это означает, что $ \frac{5a - 4}{3} \ge 1 \implies 5a - 4 \ge 3 \implies 5a \ge 7 \implies a \ge 1.4 $.
Так как $a$ - натуральное число, его наименьшее возможное значение - это 2. Кроме того, $5a - 4$ должно быть кратно 3. Проверим наименьшие подходящие натуральные значения для $a$, начиная с 2:
- При $a = 2$, получаем $b = \frac{5(2) - 4}{3} = \frac{10 - 4}{3} = \frac{6}{3} = 2$. Это натуральное число.
Так как мы начали с наименьшего возможного натурального значения для $a$ и получили натуральное значение для $b$, пара $a=2, b=2$ является решением с наименьшими значениями.
Проверка: $ \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{10 - 6}{15} = \frac{4}{15} $. Равенство верно.
Ответ: $a=2, b=2$.