Номер 322, страница 66 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 322, страница 66.

Условие.

322. Укажите пять чисел, каждое из которых имеет только три разных делителя. Можно ли утверждать, что таких чисел бесконечно много?

Решение.

Решение 2.

Укажите пять чисел, каждое из которых имеет только три разных делителя.

Число имеет ровно три различных делителя тогда и только тогда, когда оно является квадратом простого числа.

Поясним, почему это так. Любое натуральное число $n > 1$ имеет как минимум два делителя: 1 и само число $n$. Если у числа есть третий делитель, обозначим его $d$. Таким образом, делителями являются $1, d, n$. Поскольку $d$ — делитель $n$, то частное $n/d$ также должно быть делителем $n$. Так как у нас всего три делителя, $n/d$ может быть равно только $1, d$ или $n$.

• Если $n/d = 1$, то $n = d$, что противоречит тому, что делители разные.
• Если $n/d = n$, то $d = 1$, что также противоречит условию.
• Следовательно, остается единственный вариант: $n/d = d$, из которого следует, что $n = d^2$.

Теперь нужно убедиться, что $d$ — простое число. Если бы $d$ было составным, то у него был бы собственный делитель $k$ (где $1 < k < d$). Но тогда $k$ был бы делителем и числа $n = d^2$, и у числа $n$ было бы как минимум четыре делителя: $1, k, d, n$. Это противоречит условию, что делителей ровно три. Значит, у $d$ есть только два делителя (1 и $d$), что по определению означает, что $d$ — простое число.

Итак, чтобы найти числа с тремя делителями, нужно брать простые числа и возводить их в квадрат. Возьмем первые пять простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11.

• $2^2 = 4$. Делители числа 4: 1, 2, 4. (Всего 3 делителя)
• $3^2 = 9$. Делители числа 9: 1, 3, 9. (Всего 3 делителя)
• $5^2 = 25$. Делители числа 25: 1, 5, 25. (Всего 3 делителя)
• $7^2 = 49$. Делители числа 49: 1, 7, 49. (Всего 3 делителя)
• $11^2 = 121$. Делители числа 121: 1, 11, 121. (Всего 3 делителя)

Ответ: 4, 9, 25, 49, 121.

Можно ли утверждать, что таких чисел бесконечно много?

Да, можно. Как было показано выше, числа, имеющие ровно три делителя, — это в точности квадраты простых чисел ($p^2$).

Вопрос о том, бесконечно ли много чисел с тремя делителями, эквивалентен вопросу о том, бесконечно ли много простых чисел. Евклид доказал, что множество простых чисел бесконечно. Поскольку каждому простому числу $p$ соответствует уникальное число $p^2$ с тремя делителями, а простых чисел бесконечно много, то и чисел с тремя делителями также бесконечно много.

Ответ: Да, можно утверждать, что таких чисел бесконечно много.