Номер 319, страница 65 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 319, страница 65.

Условие.

319. Вычислите значение выражения $\frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{2}{29 \cdot 31}$.

Решение.

Решение 2.

Данное выражение представляет собой сумму дробей. Для ее вычисления заметим, что каждый член суммы можно представить в виде разности двух дробей. Общий вид члена суммы можно записать как $ \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} $ или, что более удобно для данного ряда, $ \frac{2}{k(k+2)} $.

Воспользуемся тождеством, которое позволяет разложить дробь такого вида:

$ \frac{2}{k(k+2)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} $

Проверим это тождество, приведя правую часть к общему знаменателю:

$ \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} = \frac{(k+2) - k}{k(k+2)} = \frac{2}{k(k+2)} $

Тождество верно. Теперь применим его к каждому слагаемому в исходном выражении:

$ \frac{2}{3 \cdot 5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} $

$ \frac{2}{5 \cdot 7} = \frac{1}{5} - \frac{1}{7} $

$ \frac{2}{7 \cdot 9} = \frac{1}{7} - \frac{1}{9} $

... и так далее для всех членов суммы до последнего:

$ \frac{2}{29 \cdot 31} = \frac{1}{29} - \frac{1}{31} $

Теперь запишем всю сумму, подставив вместо дробей полученные разности:

$ (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) + ... + (\frac{1}{29} - \frac{1}{31}) $

Такая сумма называется телескопической, потому что все промежуточные члены взаимно уничтожаются: $ -\frac{1}{5} $ сокращается с $ +\frac{1}{5} $, $ -\frac{1}{7} $ сокращается с $ +\frac{1}{7} $ и так далее. В результате от всей суммы остаются только самый первый и самый последний члены.

Таким образом, значение выражения равно:

$ \frac{1}{3} - \frac{1}{31} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ 3 \cdot 31 = 93 $ и выполним вычитание:

$ \frac{1 \cdot 31}{3 \cdot 31} - \frac{1 \cdot 3}{31 \cdot 3} = \frac{31}{93} - \frac{3}{93} = \frac{31 - 3}{93} = \frac{28}{93} $

Ответ: $ \frac{28}{93} $