Номер 315, страница 65 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 315, страница 65.

Условие.

315. Какое натуральное число является корнем уравнения:

1) $a + \frac{1}{a} = 7\frac{1}{7}$;

2) $b - \frac{1}{b} = 14\frac{14}{15}$?

Решение.

Решение 2.

1) Рассмотрим уравнение $a + \frac{1}{a} = 7\frac{1}{7}$.
Правую часть уравнения можно представить в виде суммы целой и дробной частей: $7\frac{1}{7} = 7 + \frac{1}{7}$.
Таким образом, уравнение принимает вид: $a + \frac{1}{a} = 7 + \frac{1}{7}$.
Поскольку по условию задачи $a$ является натуральным числом, левая часть уравнения представляет собой сумму натурального числа и правильной дроби. Сравнивая левую и правую части уравнения, можно сделать вывод, что $a=7$.
Проверим подстановкой: если $a=7$, то левая часть равна $7 + \frac{1}{7} = 7\frac{1}{7}$, что соответствует правой части уравнения.
Число 7 является натуральным.
Ответ: 7

2) Рассмотрим уравнение $b - \frac{1}{b} = 14\frac{14}{15}$.
Преобразуем правую часть уравнения. Представим смешанное число $14\frac{14}{15}$ в виде разности, чтобы получить структуру, похожую на левую часть: $14\frac{14}{15} = 15 - 1 + \frac{14}{15} = 15 - (\frac{15}{15} - \frac{14}{15}) = 15 - \frac{1}{15}$.
Теперь уравнение можно переписать в виде: $b - \frac{1}{b} = 15 - \frac{1}{15}$.
Из полученного вида уравнения очевидно, что натуральным корнем является $b=15$.
Проверим подстановкой: если $b=15$, то левая часть равна $15 - \frac{1}{15} = \frac{225-1}{15} = \frac{224}{15} = 14\frac{14}{15}$, что соответствует правой части уравнения.
Число 15 является натуральным.
Ответ: 15