Номер 314, страница 65 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 314, страница 65.

Условие.

314. Упростите выражение (буквами обозначены натуральные числа):

1) $\frac{3}{a} + \frac{9}{2a}$;

2) $\frac{11c}{14d} + \frac{c}{21d}$;

3) $\frac{17p}{18q} - \frac{11p}{12q}$.

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы упростить выражение $ \frac{3}{a} + \frac{9}{2a} $, необходимо привести дроби к общему знаменателю.
Знаменатели дробей: $a$ и $2a$. Наименьший общий знаменатель для них — $2a$.
Найдем дополнительный множитель для первой дроби: $2a : a = 2$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $2$:
$ \frac{3}{a} = \frac{3 \cdot 2}{a \cdot 2} = \frac{6}{2a} $
Вторая дробь $ \frac{9}{2a} $ уже имеет нужный знаменатель.
Теперь сложим дроби:
$ \frac{6}{2a} + \frac{9}{2a} = \frac{6 + 9}{2a} = \frac{15}{2a} $
Ответ: $ \frac{15}{2a} $

2) Чтобы упростить выражение $ \frac{11c}{14d} + \frac{c}{21d} $, найдем наименьший общий знаменатель.
Знаменатели дробей: $14d$ и $21d$. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для коэффициентов $14$ и $21$.
Разложим числа на простые множители:
$ 14 = 2 \cdot 7 $
$ 21 = 3 \cdot 7 $
НОК(14, 21) = $ 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42 $.
Общий знаменатель равен $42d$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $42d : 14d = 3$.
$ \frac{11c}{14d} = \frac{11c \cdot 3}{14d \cdot 3} = \frac{33c}{42d} $
Дополнительный множитель для второй дроби: $42d : 21d = 2$.
$ \frac{c}{21d} = \frac{c \cdot 2}{21d \cdot 2} = \frac{2c}{42d} $
Сложим полученные дроби:
$ \frac{33c}{42d} + \frac{2c}{42d} = \frac{33c + 2c}{42d} = \frac{35c}{42d} $
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для $35$ и $42$ равен $7$.
$ \frac{35c}{42d} = \frac{35c : 7}{42d : 7} = \frac{5c}{6d} $
Ответ: $ \frac{5c}{6d} $

3) Чтобы упростить выражение $ \frac{17p}{18q} - \frac{11p}{12q} $, найдем наименьший общий знаменатель.
Знаменатели дробей: $18q$ и $12q$. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для коэффициентов $18$ и $12$.
Разложим числа на простые множители:
$ 18 = 2 \cdot 3^2 $
$ 12 = 2^2 \cdot 3 $
НОК(18, 12) = $ 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 $.
Общий знаменатель равен $36q$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $36q : 18q = 2$.
$ \frac{17p}{18q} = \frac{17p \cdot 2}{18q \cdot 2} = \frac{34p}{36q} $
Дополнительный множитель для второй дроби: $36q : 12q = 3$.
$ \frac{11p}{12q} = \frac{11p \cdot 3}{12q \cdot 3} = \frac{33p}{36q} $
Выполним вычитание дробей:
$ \frac{34p}{36q} - \frac{33p}{36q} = \frac{34p - 33p}{36q} = \frac{p}{36q} $
Ответ: $ \frac{p}{36q} $