Номер 320, страница 65 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 320, страница 65.

Условие.

320. Докажите, что $\frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{18} > \frac{1}{2}$.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства неравенства $ \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + ... + \frac{1}{18} > \frac{1}{2} $ воспользуемся методом оценки суммы.

1. Посчитаем количество слагаемых в сумме. Слагаемые представляют собой дроби со знаменателями от 10 до 18 включительно. Общее количество слагаемых равно $18 - 10 + 1 = 9$.

2. Оценим каждое слагаемое. Самое маленькое слагаемое в этой сумме — последнее, то есть $\frac{1}{18}$. Каждое из предыдущих слагаемых больше, чем $\frac{1}{18}$:

$ \frac{1}{10} > \frac{1}{18} $
$ \frac{1}{11} > \frac{1}{18} $
$ \frac{1}{12} > \frac{1}{18} $
...
$ \frac{1}{17} > \frac{1}{18} $

3. Заменим каждое из девяти слагаемых в исходной сумме на самое маленькое из них, то есть на $\frac{1}{18}$. Поскольку мы заменяем все слагаемые (кроме последнего) на строго меньшие значения, то и вся сумма станет строго меньше исходной.

$ \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + ... + \frac{1}{18} > \underbrace{\frac{1}{18} + \frac{1}{18} + \frac{1}{18} + ... + \frac{1}{18}}_{9 \text{ раз}} $

4. Вычислим сумму, получившуюся в правой части неравенства:

$ 9 \cdot \frac{1}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} $

5. Таким образом, мы показали, что исходная сумма строго больше, чем $\frac{1}{2}$:

$ \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + ... + \frac{1}{18} > \frac{1}{2} $

Ответ: Что и требовалось доказать.