Номер 313, страница 65 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 313, страница 65.

Условие.

313. Упростите выражение (буквами обозначены натуральные числа):

1) $\frac{3a}{8b} - \frac{a}{5b}$;

2) $\frac{4m}{9n} + \frac{5m}{12n}$;

3) $\frac{7x}{6y} - \frac{4x}{15y}$.

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы упростить выражение $ \frac{3a}{8b} - \frac{a}{5b} $, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $8b$ и $5b$. Наименьшее общее кратное для чисел 8 и 5 равно 40. Таким образом, общий знаменатель равен $40b$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

• Для первой дроби ($ \frac{3a}{8b} $): $ \frac{40b}{8b} = 5 $.
• Для второй дроби ($ \frac{a}{5b} $): $ \frac{40b}{5b} = 8 $.

Теперь умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель и выполним вычитание:

$ \frac{3a \cdot 5}{8b \cdot 5} - \frac{a \cdot 8}{5b \cdot 8} = \frac{15a}{40b} - \frac{8a}{40b} = \frac{15a - 8a}{40b} = \frac{7a}{40b} $.

Ответ: $ \frac{7a}{40b} $.

2) Чтобы упростить выражение $ \frac{4m}{9n} + \frac{5m}{12n} $, приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $9n$ и $12n$. Наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 равно 36. Таким образом, общий знаменатель равен $36n$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

• Для первой дроби ($ \frac{4m}{9n} $): $ \frac{36n}{9n} = 4 $.
• Для второй дроби ($ \frac{5m}{12n} $): $ \frac{36n}{12n} = 3 $.

Умножим числители на их дополнительные множители и выполним сложение:

$ \frac{4m \cdot 4}{9n \cdot 4} + \frac{5m \cdot 3}{12n \cdot 3} = \frac{16m}{36n} + \frac{15m}{36n} = \frac{16m + 15m}{36n} = \frac{31m}{36n} $.

Ответ: $ \frac{31m}{36n} $.

3) Чтобы упростить выражение $ \frac{7x}{6y} - \frac{4x}{15y} $, приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $6y$ и $15y$. Наименьшее общее кратное для чисел 6 и 15 равно 30. Таким образом, общий знаменатель равен $30y$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

• Для первой дроби ($ \frac{7x}{6y} $): $ \frac{30y}{6y} = 5 $.
• Для второй дроби ($ \frac{4x}{15y} $): $ \frac{30y}{15y} = 2 $.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$ \frac{7x \cdot 5}{6y \cdot 5} - \frac{4x \cdot 2}{15y \cdot 2} = \frac{35x}{30y} - \frac{8x}{30y} = \frac{35x - 8x}{30y} = \frac{27x}{30y} $.

Полученную дробь можно сократить, так как числитель 27 и знаменатель 30 делятся на 3:

$ \frac{27x}{30y} = \frac{9 \cdot 3 \cdot x}{10 \cdot 3 \cdot y} = \frac{9x}{10y} $.

Ответ: $ \frac{9x}{10y} $.