Номер 318, страница 65 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 318, страница 65.

Условие.

318. Вычислите значение выражения $\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{19 \cdot 20}.$

Решение.

Решение 2.

Для вычисления значения данного выражения представим каждое слагаемое в виде разности двух дробей. Заметим, что каждый член суммы имеет вид $ \frac{1}{n(n+1)} $.

Воспользуемся тождеством:

$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $

Проверим его, приведя правую часть к общему знаменателю:

$ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1 \cdot (n+1)}{n(n+1)} - \frac{1 \cdot n}{n(n+1)} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} $

Теперь применим это тождество к каждому слагаемому в исходной сумме:

$ \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $

$ \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $

$ \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} $

...

$ \frac{1}{19 \cdot 20} = \frac{1}{19} - \frac{1}{20} $

Перепишем исходное выражение, подставив полученные разности:

$ (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{19} - \frac{1}{20}) $

Мы видим, что все промежуточные члены суммы взаимно уничтожаются: $ -\frac{1}{3} $ сокращается с $ \frac{1}{3} $, $ -\frac{1}{4} $ с $ \frac{1}{4} $ и так далее, вплоть до $ -\frac{1}{19} $ и $ \frac{1}{19} $. Этот эффект называется телескопическим суммированием.

В результате от всей суммы остаются только первый и последний члены:

$ \frac{1}{2} - \frac{1}{20} $

Вычислим значение этого выражения, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{1}{2} - \frac{1}{20} = \frac{10}{20} - \frac{1}{20} = \frac{10-1}{20} = \frac{9}{20} $

Ответ: $ \frac{9}{20} $.