Номер 321, страница 66 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 321, страница 66.

Условие.

321. Докажите, что $\frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \dots + \frac{1}{39} + \frac{1}{40} > \frac{1}{4}$.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом оценки.

Рассмотрим сумму $S = \frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + ... + \frac{1}{39} + \frac{1}{40}$.
Эта сумма состоит из 10 слагаемых (от $40 - 31 + 1 = 10$).

Наименьшим слагаемым в этой сумме является дробь с наибольшим знаменателем, то есть $\frac{1}{40}$.

Каждое из остальных слагаемых суммы больше, чем $\frac{1}{40}$:
$\frac{1}{31} > \frac{1}{40}$
$\frac{1}{32} > \frac{1}{40}$
$\frac{1}{33} > \frac{1}{40}$
...
$\frac{1}{39} > \frac{1}{40}$

Заменим каждое из десяти слагаемых в исходной сумме на наименьшее из них, то есть на $\frac{1}{40}$. Поскольку мы заменяем 9 слагаемых на строго меньшие значения, а одно оставляем без изменения, то полученная сумма будет строго меньше исходной:
$\frac{1}{31} + \frac{1}{32} + ... + \frac{1}{39} + \frac{1}{40} > \frac{1}{40} + \frac{1}{40} + ... + \frac{1}{40} + \frac{1}{40}$

В правой части неравенства находится сумма десяти одинаковых слагаемых. Найдем значение этой суммы:
$\underbrace{\frac{1}{40} + \frac{1}{40} + ... + \frac{1}{40}}_{10 \text{ раз}} = 10 \times \frac{1}{40} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$

Таким образом, мы доказали, что исходная сумма строго больше $\frac{1}{4}$:
$\frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + ... + \frac{1}{39} + \frac{1}{40} > \frac{1}{4}$

Ответ: Что и требовалось доказать.