Номер 347, страница 71 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Умножение дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 347, страница 71.

Условие.

347. Выполните умножение:

1) $\frac{11}{15} \cdot \frac{21}{22} \cdot \frac{9}{28} \cdot \frac{8}{9};$

2) $2\frac{1}{2} \cdot 3\frac{1}{3} \cdot 4\frac{1}{5} \cdot \frac{8}{35};$

3) $\frac{3}{8} \cdot 1\frac{5}{7} \cdot \frac{4}{9} \cdot 2\frac{1}{3};$

4) $1\frac{4}{5} \cdot 1\frac{2}{3} \cdot 2\frac{1}{7} \cdot 4\frac{2}{3}.$

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы выполнить умножение дробей, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Запишем все множители в одну дробь и затем сократим общие множители.
$ \frac{11}{15} \cdot \frac{21}{22} \cdot \frac{9}{28} \cdot \frac{8}{9} = \frac{11 \cdot 21 \cdot 9 \cdot 8}{15 \cdot 22 \cdot 28 \cdot 9} $
Сократим одинаковые множители `9` в числителе и знаменателе:
$ \frac{11 \cdot 21 \cdot 8}{15 \cdot 22 \cdot 28} $
Сократим числитель `11` и знаменатель `22` на `11` ( $22 = 2 \cdot 11$ ):
$ \frac{1 \cdot 21 \cdot 8}{15 \cdot 2 \cdot 28} $
Сократим числитель `21` и знаменатель `28` на `7` ( $21 = 3 \cdot 7$, $28 = 4 \cdot 7$ ):
$ \frac{1 \cdot 3 \cdot 8}{15 \cdot 2 \cdot 4} $
Сократим числитель `3` и знаменатель `15` на `3` ( $15 = 3 \cdot 5$ ):
$ \frac{1 \cdot 1 \cdot 8}{5 \cdot 2 \cdot 4} = \frac{8}{40} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на `8`:
$ \frac{8}{40} = \frac{1}{5} $
Ответ: $ \frac{1}{5} $

2) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби, а затем выполним умножение, сокращая общие множители.
$ 2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2} $
$ 3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3} $
$ 4\frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{21}{5} $
Теперь перемножим дроби:
$ \frac{5}{2} \cdot \frac{10}{3} \cdot \frac{21}{5} \cdot \frac{8}{35} = \frac{5 \cdot 10 \cdot 21 \cdot 8}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 35} $
Сократим одинаковые множители `5` в числителе и знаменателе:
$ \frac{10 \cdot 21 \cdot 8}{2 \cdot 3 \cdot 35} $
Сократим `10` и `2` на `2`:
$ \frac{5 \cdot 21 \cdot 8}{3 \cdot 35} $
Сократим `21` и `3` на `3`:
$ \frac{5 \cdot 7 \cdot 8}{35} $
Поскольку $ 5 \cdot 7 = 35 $, мы можем сократить `35` в числителе и знаменателе:
$ \frac{35 \cdot 8}{35} = 8 $
Ответ: $ 8 $

3) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и выполним умножение.
$ 1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7} $
$ 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} $
Выполним умножение дробей:
$ \frac{3}{8} \cdot \frac{12}{7} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{3} = \frac{3 \cdot 12 \cdot 4 \cdot 7}{8 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 3} $
Сократим одинаковые множители `3` и `7` в числителе и знаменателе:
$ \frac{12 \cdot 4}{8 \cdot 9} $
Сократим `12` в числителе и `9` в знаменателе на `3` ( $12=4 \cdot 3, 9=3 \cdot 3$ ):
$ \frac{4 \cdot 4}{8 \cdot 3} $
Сократим `4` в числителе и `8` в знаменателе на `4` ( $8=2 \cdot 4$ ):
$ \frac{4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} $
Сократим полученную дробь на `2`:
$ \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $
Ответ: $ \frac{2}{3} $

4) Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби перед умножением.
$ 1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5} $
$ 1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3} $
$ 2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7} $
$ 4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3} $
Теперь выполним умножение дробей:
$ \frac{9}{5} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{15}{7} \cdot \frac{14}{3} = \frac{9 \cdot 5 \cdot 15 \cdot 14}{5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 3} $
Сократим одинаковые множители `5`:
$ \frac{9 \cdot 15 \cdot 14}{3 \cdot 7 \cdot 3} $
Заметим, что в знаменателе $ 3 \cdot 3 = 9 $. Сократим `9` в числителе с `3 \cdot 3` в знаменателе:
$ \frac{15 \cdot 14}{7} $
Сократим `14` в числителе и `7` в знаменателе на `7` ( $14 = 2 \cdot 7$ ):
$ 15 \cdot 2 = 30 $
Ответ: $ 30 $