Номер 352, страница 72 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Умножение дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 352, страница 72.

Условие.

352. Найдите значение выражения:

1) $4\frac{2}{3} \cdot 6 - 1\frac{23}{42} \cdot 3\frac{1}{13} + 2\frac{1}{8} \cdot 1\frac{29}{51};$

2) $(5\frac{3}{10} - 3\frac{4}{5} \cdot \frac{13}{38}) \cdot \frac{5}{84} + 2\frac{1}{12} \cdot \frac{4}{15};$

3) $(3\frac{1}{3})^2 - 2\frac{13}{16} \cdot 2\frac{2}{5};$

4) $(\frac{5}{12} + \frac{13}{20})^2 \cdot 1\frac{13}{32}.$

Решение.

Решение 2.

1) $4\frac{2}{3} \cdot 6 - 1\frac{23}{42} \cdot 3\frac{1}{13} + 2\frac{1}{8} \cdot 1\frac{29}{51}$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок операций (сначала умножение, затем вычитание и сложение).

1. Выполним первое умножение, предварительно переведя смешанное число в неправильную дробь:

$4\frac{2}{3} \cdot 6 = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} \cdot 6 = \frac{14}{3} \cdot 6 = \frac{14 \cdot 6}{3} = 14 \cdot 2 = 28$.

2. Выполним второе умножение, также переведя смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{23}{42} \cdot 3\frac{1}{13} = \frac{1 \cdot 42 + 23}{42} \cdot \frac{3 \cdot 13 + 1}{13} = \frac{65}{42} \cdot \frac{40}{13} = \frac{65 \cdot 40}{42 \cdot 13} = \frac{(5 \cdot 13) \cdot 40}{42 \cdot 13} = \frac{5 \cdot 40}{42} = \frac{200}{42} = \frac{100}{21}$.

3. Выполним третье умножение:

$2\frac{1}{8} \cdot 1\frac{29}{51} = \frac{2 \cdot 8 + 1}{8} \cdot \frac{1 \cdot 51 + 29}{51} = \frac{17}{8} \cdot \frac{80}{51} = \frac{17 \cdot 80}{8 \cdot 51} = \frac{17 \cdot (8 \cdot 10)}{8 \cdot (17 \cdot 3)} = \frac{10}{3}$.

4. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$28 - \frac{100}{21} + \frac{10}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 21:

$28 - \frac{100}{21} + \frac{10 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{28 \cdot 21}{21} - \frac{100}{21} + \frac{70}{21} = \frac{588 - 100 + 70}{21} = \frac{488 + 70}{21} = \frac{558}{21}$.

5. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3, и выделим целую часть:

$\frac{558}{21} = \frac{186}{7} = 26\frac{4}{7}$.

Ответ: $26\frac{4}{7}$.

2) $(\left(5\frac{3}{10} - 3\frac{4}{5} \cdot \frac{13}{38}\right) \cdot \frac{5}{84} + 2\frac{1}{12} \cdot \frac{4}{15})$

Решим по действиям. Сначала выполним действия в скобках.

1. Умножение в скобках:

$3\frac{4}{5} \cdot \frac{13}{38} = \frac{3 \cdot 5 + 4}{5} \cdot \frac{13}{38} = \frac{19}{5} \cdot \frac{13}{38} = \frac{19 \cdot 13}{5 \cdot (2 \cdot 19)} = \frac{13}{5 \cdot 2} = \frac{13}{10}$.

2. Вычитание в скобках:

$5\frac{3}{10} - \frac{13}{10} = \frac{5 \cdot 10 + 3}{10} - \frac{13}{10} = \frac{53}{10} - \frac{13}{10} = \frac{40}{10} = 4$.

3. Теперь выполним умножение результата скобок на дробь:

$4 \cdot \frac{5}{84} = \frac{4 \cdot 5}{84} = \frac{20}{84} = \frac{5}{21}$.

4. Выполним второе умножение в выражении:

$2\frac{1}{12} \cdot \frac{4}{15} = \frac{2 \cdot 12 + 1}{12} \cdot \frac{4}{15} = \frac{25}{12} \cdot \frac{4}{15} = \frac{25 \cdot 4}{12 \cdot 15} = \frac{(5 \cdot 5) \cdot 4}{(3 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 5)} = \frac{5}{3 \cdot 3} = \frac{5}{9}$.

5. Выполним сложение:

$\frac{5}{21} + \frac{5}{9}$.

Общий знаменатель для 21 и 9 равен 63.

$\frac{5 \cdot 3}{21 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{15}{63} + \frac{35}{63} = \frac{15 + 35}{63} = \frac{50}{63}$.

Ответ: $\frac{50}{63}$.

3) $(3\frac{1}{3})^2 - 2\frac{13}{16} \cdot 2\frac{2}{5}$

Решим по действиям: сначала возведение в степень и умножение, затем вычитание.

1. Возведение в степень:

$(3\frac{1}{3})^2 = (\frac{3 \cdot 3 + 1}{3})^2 = (\frac{10}{3})^2 = \frac{100}{9}$.

2. Умножение:

$2\frac{13}{16} \cdot 2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 16 + 13}{16} \cdot \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{45}{16} \cdot \frac{12}{5} = \frac{45 \cdot 12}{16 \cdot 5} = \frac{(9 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 4)}{(4 \cdot 4) \cdot 5} = \frac{9 \cdot 3}{4} = \frac{27}{4}$.

3. Вычитание:

$\frac{100}{9} - \frac{27}{4}$.

Общий знаменатель для 9 и 4 равен 36.

$\frac{100 \cdot 4}{9 \cdot 4} - \frac{27 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{400}{36} - \frac{243}{36} = \frac{400 - 243}{36} = \frac{157}{36}$.

4. Выделим целую часть:

$\frac{157}{36} = 4\frac{13}{36}$.

Ответ: $4\frac{13}{36}$.

4) $(\frac{5}{12} + \frac{13}{20})^2 \cdot 1\frac{13}{32}$

Решим по действиям: сначала сложение в скобках, затем возведение в степень и умножение.

1. Сложение в скобках:

$\frac{5}{12} + \frac{13}{20}$.

Найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 20. $12 = 2^2 \cdot 3$, $20 = 2^2 \cdot 5$. НОК(12, 20) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

$\frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} + \frac{13 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{25}{60} + \frac{39}{60} = \frac{25 + 39}{60} = \frac{64}{60}$.

Сократим дробь на 4: $\frac{16}{15}$.

2. Возведение в степень:

$(\frac{16}{15})^2 = \frac{16^2}{15^2} = \frac{256}{225}$.

3. Умножение:

$\frac{256}{225} \cdot 1\frac{13}{32} = \frac{256}{225} \cdot \frac{1 \cdot 32 + 13}{32} = \frac{256}{225} \cdot \frac{45}{32}$.

Сократим дроби перед умножением:

$256$ и $32$ делятся на $32$: $\frac{256}{32} = 8$.

$225$ и $45$ делятся на $45$: $\frac{225}{45} = 5$.

Получаем: $\frac{8}{5} \cdot \frac{1}{1} = \frac{8}{5}$.

4. Выделим целую часть:

$\frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$.

Ответ: $1\frac{3}{5}$.