Номер 355, страница 72 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Умножение дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 355, страница 72.

Условие.

355. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $3\frac{5}{14}\cdot \frac{7}{9} - 2\frac{3}{14}\cdot \frac{7}{9};$

2) $7\frac{1}{5}\cdot 2\frac{1}{8} + 7\frac{1}{5}\cdot 1\frac{5}{8};$

3) $\frac{3}{4}\cdot 1\frac{3}{5} + 1\frac{3}{5}\cdot 1\frac{3}{8} - 1\frac{1}{2}\cdot 1\frac{3}{5};$

4) $3\frac{9}{14}\cdot 0,3 - 0,3\cdot 1\frac{10}{21} + 0,3\cdot 1\frac{1}{6};$

Решение.

Решение 2.

1)

В выражении $3\frac{5}{14} \cdot \frac{7}{9} - 2\frac{3}{14} \cdot \frac{7}{9}$ есть общий множитель $\frac{7}{9}$. Наиболее удобный способ решения — вынести общий множитель за скобки, используя распределительное свойство умножения: $a \cdot c - b \cdot c = (a-b) \cdot c$.

$(3\frac{5}{14} - 2\frac{3}{14}) \cdot \frac{7}{9}$

Сначала выполним вычитание в скобках. Вычитаем целые и дробные части отдельно:

$3\frac{5}{14} - 2\frac{3}{14} = (3-2) + (\frac{5}{14} - \frac{3}{14}) = 1 + \frac{2}{14} = 1\frac{2}{14}$

Сократим дробную часть: $1\frac{2}{14} = 1\frac{1}{7}$.

Теперь умножим полученный результат на общий множитель. Для этого представим смешанное число $1\frac{1}{7}$ в виде неправильной дроби:

$1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$

Выполним умножение:

$\frac{8}{7} \cdot \frac{7}{9} = \frac{8 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7} \cdot 9} = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$.

2)

В выражении $7\frac{1}{5} \cdot 2\frac{1}{8} + 7\frac{1}{5} \cdot 1\frac{5}{8}$ есть общий множитель $7\frac{1}{5}$. Вынесем его за скобки, используя распределительное свойство: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$.

$7\frac{1}{5} \cdot (2\frac{1}{8} + 1\frac{5}{8})$

Сначала выполним сложение в скобках. Складываем целые и дробные части отдельно:

$2\frac{1}{8} + 1\frac{5}{8} = (2+1) + (\frac{1}{8} + \frac{5}{8}) = 3 + \frac{6}{8} = 3\frac{6}{8}$

Сократим дробную часть: $3\frac{6}{8} = 3\frac{3}{4}$.

Теперь выполним умножение. Переведем смешанные числа $7\frac{1}{5}$ и $3\frac{3}{4}$ в неправильные дроби:

$7\frac{1}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{36}{5}$

$3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$

Выполним умножение и сократим дроби:

$\frac{36}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{\cancel{36}^9 \cdot \cancel{15}^3}{\cancel{5}_1 \cdot \cancel{4}_1} = 9 \cdot 3 = 27$

Ответ: 27.

3)

В выражении $\frac{3}{4} \cdot 1\frac{3}{5} + 1\frac{3}{5} \cdot 1\frac{3}{8} - 1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{3}{5}$ общий множитель равен $1\frac{3}{5}$. Вынесем его за скобки:

$(\frac{3}{4} + 1\frac{3}{8} - 1\frac{1}{2}) \cdot 1\frac{3}{5}$

Выполним действия в скобках. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю 8:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$

$1\frac{1}{2} = 1\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = 1\frac{4}{8}$

Теперь выражение в скобках выглядит так: $(\frac{6}{8} + 1\frac{3}{8} - 1\frac{4}{8})$.

Выполним сложение: $\frac{6}{8} + 1\frac{3}{8} = 1\frac{9}{8}$.

Выполним вычитание: $1\frac{9}{8} - 1\frac{4}{8} = (1-1) + (\frac{9}{8} - \frac{4}{8}) = 0 + \frac{5}{8} = \frac{5}{8}$.

Теперь умножим результат на $1\frac{3}{5}$. Переведем $1\frac{3}{5}$ в неправильную дробь:

$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$

Выполним умножение:

$\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{5} = \frac{\cancel{5} \cdot \cancel{8}}{\cancel{8} \cdot \cancel{5}} = 1$

Ответ: 1.

4)

В выражении $3\frac{9}{14} \cdot 0,3 - 0,3 \cdot 1\frac{10}{21} + 0,3 \cdot 1\frac{1}{6}$ общий множитель равен 0,3. Вынесем его за скобки:

$(3\frac{9}{14} - 1\frac{10}{21} + 1\frac{1}{6}) \cdot 0,3$

Выполним действия в скобках. Найдем наименьший общий знаменатель для дробей со знаменателями 14, 21 и 6. НОК(14, 21, 6) = 42.

Приведем дроби к знаменателю 42:

$\frac{9}{14} = \frac{9 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{27}{42}$

$\frac{10}{21} = \frac{10 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{20}{42}$

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{7}{42}$

Выражение в скобках примет вид: $(3\frac{27}{42} - 1\frac{20}{42} + 1\frac{7}{42})$.

Выполним действия с целыми и дробными частями:

$(3 - 1 + 1) + (\frac{27}{42} - \frac{20}{42} + \frac{7}{42}) = 3 + \frac{7+7}{42} = 3 + \frac{14}{42} = 3\frac{14}{42}$

Сократим дробную часть: $3\frac{14}{42} = 3\frac{1}{3}$.

Теперь умножим результат на 0,3. Представим 0,3 в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{10}$ и смешанное число $3\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби $\frac{10}{3}$:

$3\frac{1}{3} \cdot 0,3 = \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{10} = \frac{\cancel{10} \cdot \cancel{3}}{\cancel{3} \cdot \cancel{10}} = 1$

Ответ: 1.