Номер 373, страница 75 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Умножение дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 373, страница 75.

Условие.

373. Одна швея может выполнить заказ за 4 ч, а другая — за 6 ч. Какую часть заказа они выполнят за $\frac{3}{4}$ ч, работая вместе? Хватит ли им 3 ч, чтобы, работая вместе, выполнить заказ?

Решение.

Решение 2.

Какую часть заказа они выполнят за $ \frac{3}{4} $ ч, работая вместе?

1. Сначала определим производительность (скорость работы) каждой швеи. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Примем весь заказ за 1.

• Производительность первой швеи: $ P_1 = \frac{1 \text{ (заказ)}}{4 \text{ (ч)}} = \frac{1}{4} $ заказа в час.
• Производительность второй швеи: $ P_2 = \frac{1 \text{ (заказ)}}{6 \text{ (ч)}} = \frac{1}{6} $ заказа в час.

2. Найдем их общую производительность при совместной работе, сложив их индивидуальные производительности. Для этого приведем дроби к общему знаменателю (наименьшее общее кратное для 4 и 6 — это 12).

$ P_{общая} = P_1 + P_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} + \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12} $ заказа в час.

3. Теперь вычислим, какую часть заказа они выполнят за $ \frac{3}{4} $ часа. Для этого умножим их общую производительность на данное время.

Выполненная работа = $ P_{общая} \times Время = \frac{5}{12} \times \frac{3}{4} = \frac{5 \times 3}{12 \times 4} = \frac{15}{48} $.

Сократим полученную дробь на 3:

$ \frac{15 \div 3}{48 \div 3} = \frac{5}{16} $.

Ответ: За $ \frac{3}{4} $ часа, работая вместе, они выполнят $ \frac{5}{16} $ часть заказа.

Хватит ли им 3 ч, чтобы, работая вместе, выполнить заказ?

Чтобы ответить на этот вопрос, можно пойти двумя путями: найти общее время, необходимое для выполнения всего заказа, или рассчитать, какую часть заказа они выполнят за 3 часа.

Способ 1: Расчет необходимого времени.

Время, необходимое для выполнения всего заказа (1), равно отношению всей работы к общей производительности:

$ Время = \frac{1}{P_{общая}} = \frac{1}{\frac{5}{12}} = 1 \times \frac{12}{5} = \frac{12}{5} $ часа.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} $ часа.

Теперь сравним необходимое время с предложенным:

$ 2\frac{2}{5} $ ч $ < 3 $ ч.

Так как времени, нужного для выполнения заказа, меньше 3 часов, значит, им хватит 3 часов.

Способ 2: Расчет выполненной работы за 3 часа.

Умножим общую производительность ($ \frac{5}{12} $ заказа в час) на 3 часа:

Выполненная работа = $ \frac{5}{12} \times 3 = \frac{15}{12} $.

Сократим дробь на 3 и преобразуем в смешанное число:

$ \frac{15 \div 3}{12 \div 3} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} $.

За 3 часа швеи выполнят $ 1\frac{1}{4} $ заказа, что больше, чем 1 (весь заказ). Это подтверждает, что 3 часов им будет достаточно.

Ответ: Да, 3 часов хватит, чтобы выполнить заказ.