Номер 421, страница 81 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Нахождение дроби от числа. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 421, страница 81.

Условие.

421. Числа a и b не равны 0. Какое из них больше, если:

1) $ \frac{3}{4} $ числа a равны $ \frac{2}{3} $ числа b;

2) $ \frac{2}{5} $ числа a равны $ \frac{5}{7} $ числа b?

Решение.

Решение 2.

1) Согласно условию, $\frac{3}{4}$ числа $a$ равны $\frac{2}{3}$ числа $b$. Запишем это в виде равенства:
$\frac{3}{4}a = \frac{2}{3}b$
Чтобы сравнить числа $a$ и $b$, выразим $a$ через $b$. Для этого умножим обе части равенства на $\frac{4}{3}$ (число, обратное $\frac{3}{4}$):
$a = \frac{2}{3}b \cdot \frac{4}{3}$
$a = \frac{8}{9}b$
Теперь проанализируем полученное выражение. Из исходного равенства $\frac{3}{4}a = \frac{2}{3}b$ следует, что числа $a$ и $b$ должны иметь одинаковый знак, поскольку дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{2}{3}$ положительны. Рассмотрим два возможных случая:
1. Если $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 0, b > 0$). В этом случае $a$ равно $\frac{8}{9}$ от числа $b$. Так как коэффициент $\frac{8}{9} < 1$, то $a$ составляет часть от $b$, которая меньше самого числа $b$. Следовательно, $a < b$.
2. Если $a$ и $b$ — отрицательные числа ($a < 0, b < 0$). В этом случае $a$ также равно $\frac{8}{9}b$. Умножение отрицательного числа $b$ на положительный коэффициент $\frac{8}{9}$ (который меньше 1) делает результат по модулю меньше, а значит, само число — больше (ближе к нулю на числовой оси). Например, если $b = -9$, то $a = \frac{8}{9} \cdot (-9) = -8$. Так как $-8 > -9$, то $a > b$.
Ответ: если числа $a$ и $b$ положительные, то $b > a$; если числа $a$ и $b$ отрицательные, то $a > b$.

2) По условию, $\frac{2}{5}$ числа $a$ равны $\frac{5}{7}$ числа $b$. Запишем это в виде равенства:
$\frac{2}{5}a = \frac{5}{7}b$
Выразим $a$ через $b$. Для этого умножим обе части равенства на $\frac{5}{2}$ (число, обратное $\frac{2}{5}$):
$a = \frac{5}{7}b \cdot \frac{5}{2}$
$a = \frac{25}{14}b$
Как и в предыдущем задании, числа $a$ и $b$ должны иметь одинаковый знак. Сравним коэффициент $\frac{25}{14}$ с единицей: $\frac{25}{14} = 1\frac{11}{14} > 1$. Рассмотрим два возможных случая:
1. Если $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 0, b > 0$). В этом случае $a = \frac{25}{14}b$. Так как коэффициент $\frac{25}{14} > 1$, то число $a$ будет больше числа $b$. Следовательно, $a > b$.
2. Если $a$ и $b$ — отрицательные числа ($a < 0, b < 0$). В этом случае $a$ также равно $\frac{25}{14}b$. Умножение отрицательного числа $b$ на коэффициент $\frac{25}{14}$ (который больше 1) делает результат по модулю больше, а значит, само число — меньше (дальше от нуля на числовой оси). Например, если $b = -14$, то $a = \frac{25}{14} \cdot (-14) = -25$. Так как $-25 < -14$, то $a < b$.
Ответ: если числа $a$ и $b$ положительные, то $a > b$; если числа $a$ и $b$ отрицательные, то $b > a$.