Номер 423, страница 81 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Нахождение дроби от числа. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 423, страница 81.

Условие.

423. Докажите, что $a\%$ от числа $b$ равны $b\%$ от числа $a$.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства данного утверждения необходимо выразить обе части равенства в виде математических выражений и сравнить их.

1. Выражение для $a\%$ от числа $b$

По определению, процент — это одна сотая доля. Чтобы найти $a\%$ от числа $b$, нужно умножить число $b$ на дробь, соответствующую $a\%$, то есть на $\frac{a}{100}$.

Математически это записывается так:

$$ \frac{a}{100} \cdot b = \frac{ab}{100} $$

2. Выражение для $b\%$ от числа $a$

Аналогично, чтобы найти $b\%$ от числа $a$, нужно умножить число $a$ на дробь, соответствующую $b\%$, то есть на $\frac{b}{100}$.

Математически это записывается так:

$$ \frac{b}{100} \cdot a = \frac{ba}{100} $$

3. Сравнение выражений

Теперь сравним полученные выражения: $\frac{ab}{100}$ и $\frac{ba}{100}$.

В арифметике действует переместительный (коммутативный) закон умножения, который гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется. То есть, $a \cdot b = b \cdot a$.

Следовательно, числители дробей равны: $ab = ba$.

Поскольку числители и знаменатели дробей равны, то равны и сами дроби:

$$ \frac{ab}{100} = \frac{ba}{100} $$

Таким образом, мы доказали, что $a\%$ от числа $b$ равны $b\%$ от числа $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как оба выражения приводятся к виду $\frac{ab}{100}$, а согласно переместительному закону умножения $ab = ba$.