Номер 430, страница 82 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Нахождение дроби от числа. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 430, страница 82.

Условие.

430. Сравните:

1) $ \frac{26}{63} $ и $ \frac{17}{56} $;

2) $ \frac{31}{42} $ и $ \frac{19}{24} $;

3) $ \frac{2003}{2004} $ и $ \frac{2004}{2005} $.

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы сравнить дроби $\frac{26}{63}$ и $\frac{17}{56}$, приведем их к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 63 и 56.
Разложим знаменатели на простые множители:
$63 = 3^2 \cdot 7$
$56 = 2^3 \cdot 7$
НОК(63, 56) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 7 = 504$.
Теперь приведем дроби к знаменателю 504.
Для дроби $\frac{26}{63}$ дополнительный множитель равен $504 / 63 = 8$.
$\frac{26}{63} = \frac{26 \cdot 8}{63 \cdot 8} = \frac{208}{504}$.
Для дроби $\frac{17}{56}$ дополнительный множитель равен $504 / 56 = 9$.
$\frac{17}{56} = \frac{17 \cdot 9}{56 \cdot 9} = \frac{153}{504}$.
Теперь сравним полученные дроби. Так как у них одинаковые знаменатели, сравниваем их числители:
$208 > 153$.
Следовательно, $\frac{208}{504} > \frac{153}{504}$, что означает $\frac{26}{63} > \frac{17}{56}$.
Ответ: $\frac{26}{63} > \frac{17}{56}$.

2) Для сравнения дробей $\frac{31}{42}$ и $\frac{19}{24}$, найдем их общий знаменатель.
Разложим знаменатели 42 и 24 на простые множители:
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
$24 = 2^3 \cdot 3$
НОК(42, 24) = $2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 7 = 168$.
Приведем дроби к знаменателю 168.
Для дроби $\frac{31}{42}$ дополнительный множитель равен $168 / 42 = 4$.
$\frac{31}{42} = \frac{31 \cdot 4}{42 \cdot 4} = \frac{124}{168}$.
Для дроби $\frac{19}{24}$ дополнительный множитель равен $168 / 24 = 7$.
$\frac{19}{24} = \frac{19 \cdot 7}{24 \cdot 7} = \frac{133}{168}$.
Сравним числители полученных дробей:
$124 < 133$.
Следовательно, $\frac{124}{168} < \frac{133}{168}$, что означает $\frac{31}{42} < \frac{19}{24}$.
Ответ: $\frac{31}{42} < \frac{19}{24}$.

3) Чтобы сравнить дроби $\frac{2003}{2004}$ и $\frac{2004}{2005}$, можно сравнить, насколько каждая из них меньше единицы, так как обе дроби являются правильными и близки к 1.
Представим каждую дробь в виде разности единицы и некоторой дроби:
$\frac{2003}{2004} = \frac{2004 - 1}{2004} = 1 - \frac{1}{2004}$.
$\frac{2004}{2005} = \frac{2005 - 1}{2005} = 1 - \frac{1}{2005}$.
Теперь необходимо сравнить вычитаемые дроби $\frac{1}{2004}$ и $\frac{1}{2005}$.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Поскольку $2004 < 2005$, то $\frac{1}{2004} > \frac{1}{2005}$.
Мы вычитаем из одного и того же числа (1) разные дроби. Чем большее число мы вычитаем, тем меньший результат получаем.
Так как $\frac{1}{2004}$ больше, чем $\frac{1}{2005}$, то результат вычитания этой дроби из единицы будет меньше.
Следовательно, $1 - \frac{1}{2004} < 1 - \frac{1}{2005}$, а значит $\frac{2003}{2004} < \frac{2004}{2005}$.
Ответ: $\frac{2003}{2004} < \frac{2004}{2005}$.