Номер 433, страница 82 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Нахождение дроби от числа. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 433, страница 82.

Условие.

433. Черепаха ползёт по плоскости с постоянной скоростью, изменяя направление движения на 90° через каждые 15 мин. Докажите, что вернуться в точку «старта» она сможет только через целое количество часов после начала движения.

Решение.

Решение 2.

Доказательство

Введем на плоскости систему координат. Пусть черепаха начинает движение из начала координат, точки $O(0,0)$, и первый 15-минутный отрезок пути проходит вдоль положительного направления оси Ox.

Скорость черепахи $v$ постоянна, и она движется отрезками времени $t = 15$ минут. Следовательно, длина каждого отрезка пути также постоянна и равна $L = v \cdot t$.

Каждые 15 минут черепаха поворачивает на $90^\circ$. Будем считать, что поворот всегда происходит в одном и том же направлении (например, против часовой стрелки). Траектория движения черепахи состоит из векторов перемещения, которые циклически повторяются каждые четыре шага:

• 1-й отрезок (0-15 мин): перемещение на вектор $\vec{s_1} = (L, 0)$.
• 2-й отрезок (15-30 мин): перемещение на вектор $\vec{s_2} = (0, L)$.
• 3-й отрезок (30-45 мин): перемещение на вектор $\vec{s_3} = (-L, 0)$.
• 4-й отрезок (45-60 мин): перемещение на вектор $\vec{s_4} = (0, -L)$.
• 5-й отрезок: снова перемещение на вектор $\vec{s_5} = (L, 0)$, и так далее.

Сумма векторов за первые четыре отрезка (за 1 час) равна:
$\vec{S}_{4} = \vec{s_1} + \vec{s_2} + \vec{s_3} + \vec{s_4} = (L, 0) + (0, L) + (-L, 0) + (0, -L) = (L-L, L-L) = (0, 0)$.
Это означает, что через 4 отрезка по 15 минут, то есть через $4 \cdot 15 = 60$ минут (1 час), черепаха возвращается в исходную точку.

Чтобы черепаха вернулась в точку «старта» в любой другой момент времени, необходимо, чтобы суммарный вектор перемещения был равен нулевому вектору. Пусть $N$ — общее число пройденных 15-минутных отрезков. Пусть $N_1, N_2, N_3, N_4$ — количество отрезков, пройденных в направлениях $(+x), (+y), (-x)$ и $(-y)$ соответственно.

Условие возвращения в начало координат:
Сумма проекций на ось Ox равна нулю: $N_1 \cdot L - N_3 \cdot L = 0 \implies N_1 = N_3$.
Сумма проекций на ось Oy равна нулю: $N_2 \cdot L - N_4 \cdot L = 0 \implies N_2 = N_4$.

Поскольку направления движения чередуются в строгой последовательности, количество отрезков в каждом направлении может отличаться не более чем на 1. То есть, $|N_1 - N_2| \le 1$, $|N_2 - N_3| \le 1$, и так далее.
Из условий $N_1 = N_3$ и $|N_1 - N_2| \le 1$, $|N_2 - N_3| \le 1$ следует, что $N_1, N_2, N_3$ могут либо все быть равны друг другу ($N_1=N_2=N_3$), либо $N_2$ находится между $N_1$ и $N_3$ ($N_1 = N_3$, $N_2=N_1 \pm 1$). Но так как направления строго чередуются, то после отрезка типа 1 всегда идет отрезок типа 2, после 2 - типа 3, и т.д. Это означает, что количества отрезков разных типов могут отличаться максимум на единицу.
Рассмотрим, когда условия $N_1 = N_3$ и $N_2 = N_4$ выполняются. Это возможно только тогда, когда общее число отрезков $N$ является кратным 4. Если $N$ не кратно 4, то количество отрезков, пройденных в противоположных направлениях, не будет равным. Например, если $N=2$, то $N_1=1, N_2=1, N_3=0, N_4=0$. Условия не выполнены. Если $N=6$, то $N_1=2, N_2=2, N_3=1, N_4=1$. Условия не выполнены.
Таким образом, общее число 15-минутных отрезков $N$ должно быть кратно 4.
$N = 4k$, где $k$ — целое положительное число.

Общее время движения $T$ равно:
$T = N \cdot 15 \text{ мин} = (4k) \cdot 15 \text{ мин} = 60k \text{ мин}$.
Так как 60 минут — это 1 час, то $T = k$ часов.

Следовательно, черепаха сможет вернуться в точку «старта» только через целое количество часов ($k$) после начала движения.

Ответ: Для возвращения в начальную точку необходимо, чтобы число шагов в каждом из четырех направлений (вперед, налево, назад, направо относительно исходного) было сбалансировано. Число шагов "вперед" должно равняться числу шагов "назад", а число шагов "налево" - числу шагов "направо". Из-за строгой циклической смены направлений ($90^\circ$ поворот) такой баланс достигается только тогда, когда общее число 15-минутных интервалов кратно четырем. Общее время движения в таком случае составит $T = (4k) \times 15 = 60k$ минут, что равно $k$ часов, где $k$ — целое число. Что и требовалось доказать.