Номер 429, страница 82 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Нахождение дроби от числа. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 429, страница 82.

Условие.

429. Количество отсутствующих в классе учащихся составляло $ \frac{1}{6} $ количества присутствующих. После того как один ученик вышел из класса, количество отсутствующих составило $ \frac{1}{5} $ количества присутствующих.

Сколько всего учащихся в этом классе?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи введем переменные:

Пусть $x$ — первоначальное количество присутствующих учеников в классе.

Пусть $y$ — первоначальное количество отсутствующих учеников в классе.

Согласно первому условию, количество отсутствующих составляло $\frac{1}{6}$ количества присутствующих. Мы можем записать это в виде уравнения:

$y = \frac{1}{6}x$

Далее, один ученик вышел из класса. Это значит, что он перестал быть присутствующим и стал отсутствующим. Таким образом:

• Количество присутствующих учеников стало $x - 1$.
• Количество отсутствующих учеников стало $y + 1$.

Общее количество учеников в классе при этом не изменилось.

Согласно второму условию, новое количество отсутствующих составило $\frac{1}{5}$ нового количества присутствующих. Запишем второе уравнение:

$y + 1 = \frac{1}{5}(x - 1)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $y = \frac{1}{6}x$

2) $y + 1 = \frac{1}{5}(x - 1)$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$\frac{1}{6}x + 1 = \frac{1}{5}(x - 1)$

Для решения этого уравнения избавимся от дробей, умножив обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 5, то есть на 30:

$30 \cdot \left(\frac{1}{6}x + 1\right) = 30 \cdot \frac{1}{5}(x - 1)$

$5x + 30 = 6(x - 1)$

$5x + 30 = 6x - 6$

Теперь соберем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:

$30 + 6 = 6x - 5x$

$36 = x$

Мы нашли, что первоначально в классе присутствовало 36 учеников.

Теперь найдем первоначальное количество отсутствующих учеников, используя первое уравнение:

$y = \frac{1}{6} \cdot 36 = 6$

Итак, вначале в классе было 36 присутствующих и 6 отсутствующих.

Проверим наше решение. После того как один ученик вышел:

• Присутствующих стало: $36 - 1 = 35$.
• Отсутствующих стало: $6 + 1 = 7$.

Проверим отношение: $\frac{7}{35} = \frac{1}{5}$. Условие задачи выполняется.

Вопрос задачи — найти общее количество учащихся в классе. Оно равно сумме присутствующих и отсутствующих:

Всего учащихся = $36 + 6 = 42$

Ответ: 42.