Номер 437, страница 84 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Взаимно обратные числа. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 437, страница 84.

Условие.

437. Верно ли, что:

1) для любой правильной дроби обратное число будет неправильной дробью;

2) для любой неправильной дроби обратное число будет правильной дробью?

Решение.

Решение 2.

1) для любой правильной дроби обратное число будет неправильной дробью

По определению, правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Пусть дана произвольная правильная дробь $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. По определению правильной дроби, $a < b$.

Число, обратное дроби $\frac{a}{b}$, это дробь $\frac{b}{a}$.

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Чтобы определить, является ли дробь $\frac{b}{a}$ неправильной, нужно сравнить её числитель $b$ и знаменатель $a$.

Из условия, что $\frac{a}{b}$ — правильная дробь, следует, что $a < b$. Это неравенство равносильно неравенству $b > a$.

Так как числитель обратной дроби $\frac{b}{a}$ (равный $b$) больше её знаменателя (равного $a$), то по определению эта дробь является неправильной. Это справедливо для любой правильной дроби.

Например, для правильной дроби $\frac{3}{7}$ обратным числом будет дробь $\frac{7}{3}$, которая является неправильной.

Ответ: да, верно.

2) для любой неправильной дроби обратное число будет правильной дробью

По определению, неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Пусть дана произвольная неправильная дробь $\frac{c}{d}$, где $c$ и $d$ — натуральные числа. По определению неправильной дроби, $c \ge d$.

Число, обратное дроби $\frac{c}{d}$, это дробь $\frac{d}{c}$.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Утверждение гласит, что дробь $\frac{d}{c}$ всегда будет правильной. Это означает, что должно выполняться условие $d < c$.

Рассмотрим два возможных случая для неправильной дроби $\frac{c}{d}$:

Случай 1: Числитель строго больше знаменателя, то есть $c > d$. В этом случае для обратной дроби $\frac{d}{c}$ будет выполняться неравенство $d < c$. Следовательно, дробь $\frac{d}{c}$ является правильной. Например, для неправильной дроби $\frac{9}{4}$ обратная дробь $\frac{4}{9}$ — правильная.

Случай 2: Числитель равен знаменателю, то есть $c = d$. Такая дробь (например, $\frac{5}{5}$) по определению является неправильной. Обратная ей дробь будет $\frac{d}{c} = \frac{d}{d}$. В этой дроби числитель равен знаменателю, а значит, она также является неправильной, а не правильной.

Поскольку утверждение должно быть верным для любой неправильной дроби, а мы нашли контрпример (любую неправильную дробь, равную 1), то утверждение в целом является неверным.

Ответ: нет, неверно.