Номер 477, страница 91 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Деление дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 477, страница 91.

Условие.

477. Первый рабочий может выполнить задание за 30 ч, а второму для этого необходимо в $1\frac{1}{2}$ раза больше времени, чем первому. За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе? Какую часть задания при этом выполнит каждый из них?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи сначала найдем время, необходимое второму рабочему, а затем их производительность (часть задания, выполняемая за 1 час).

1. Найдем время, которое требуется второму рабочему для выполнения всего задания. Оно в $1\frac{1}{2}$ раза больше, чем у первого:

$30 \cdot 1\frac{1}{2} = 30 \cdot \frac{3}{2} = \frac{30 \cdot 3}{2} = 15 \cdot 3 = 45$ часов.

2. Определим производительность каждого рабочего. Примем все задание за 1.

Производительность первого рабочего: $P_1 = \frac{1}{30}$ задания в час.

Производительность второго рабочего: $P_2 = \frac{1}{45}$ задания в час.

За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе?

Чтобы найти время совместной работы, нужно сложить их производительности:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{30} + \frac{1}{45}$

Приведем дроби к общему знаменателю 90:

$P_{общ} = \frac{3}{90} + \frac{2}{90} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$ задания в час.

Теперь найдем общее время, разделив всю работу (1) на общую производительность:

$T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{18}} = 18$ часов.

Ответ: работая вместе, они выполнят задание за 18 часов.

Какую часть задания при этом выполнит каждый из них?

Чтобы найти, какую часть задания выполнил каждый, нужно их индивидуальную производительность умножить на общее время работы (18 часов).

Часть задания, выполненная первым рабочим:

$W_1 = P_1 \cdot T_{общ} = \frac{1}{30} \cdot 18 = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

Часть задания, выполненная вторым рабочим:

$W_2 = P_2 \cdot T_{общ} = \frac{1}{45} \cdot 18 = \frac{18}{45} = \frac{2}{5}$

Проверка: $\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1$ (все задание).

Ответ: первый рабочий выполнит $\frac{3}{5}$ задания, а второй рабочий выполнит $\frac{2}{5}$ задания.