Номер 479, страница 92 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Деление дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 479, страница 92.

Условие.

479. Через первую трубу бассейн можно наполнить водой за 10 ч. Наполнение бассейна через вторую трубу потребует в $1\frac{1}{4}$ раза меньше времени. За какое время наполнится бассейн, если открыть одновременно обе трубы? Какую часть бассейна наполнит при этом каждая труба?

Решение.

Решение 2.

За какое время наполнится бассейн, если открыть одновременно обе трубы?

1. Сначала найдем время, за которое вторая труба может наполнить весь бассейн. По условию, на это потребуется в $1\frac{1}{4}$ раза меньше времени, чем для первой трубы.

$10 \div 1\frac{1}{4} = 10 \div \frac{5}{4} = 10 \times \frac{4}{5} = \frac{40}{5} = 8$ часов.

2. Теперь определим производительность каждой трубы, то есть какую часть бассейна каждая труба наполняет за 1 час.

Производительность первой трубы ($P_1$) составляет $\frac{1}{10}$ бассейна в час.

Производительность второй трубы ($P_2$) составляет $\frac{1}{8}$ бассейна в час.

3. Найдем общую производительность при одновременной работе двух труб, сложив их производительности:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{10} + \frac{1}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю 40:

$P_{общ} = \frac{1 \times 4}{10 \times 4} + \frac{1 \times 5}{8 \times 5} = \frac{4}{40} + \frac{5}{40} = \frac{9}{40}$ бассейна в час.

4. Чтобы найти общее время ($T$) наполнения бассейна, нужно весь объем бассейна (примем его за 1) разделить на общую производительность:

$T = 1 \div P_{общ} = 1 \div \frac{9}{40} = 1 \times \frac{40}{9} = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9}$ часа.

Ответ: бассейн наполнится за $4\frac{4}{9}$ часа.

Какую часть бассейна наполнит при этом каждая труба?

Чтобы найти, какую часть бассейна наполнила каждая труба, необходимо производительность каждой трубы умножить на общее время работы, то есть на $4\frac{4}{9}$ часа ($\frac{40}{9}$ часа).

1. Часть бассейна, которую наполнит первая труба ($V_1$):

$V_1 = P_1 \times T = \frac{1}{10} \times \frac{40}{9} = \frac{40}{90} = \frac{4}{9}$ бассейна.

2. Часть бассейна, которую наполнит вторая труба ($V_2$):

$V_2 = P_2 \times T = \frac{1}{8} \times \frac{40}{9} = \frac{40}{72} = \frac{5}{9}$ бассейна.

Для проверки можно сложить полученные части: $\frac{4}{9} + \frac{5}{9} = \frac{9}{9} = 1$, что составляет весь бассейн.

Ответ: первая труба наполнит $\frac{4}{9}$ бассейна, а вторая — $\frac{5}{9}$ бассейна.