Номер 485, страница 92 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Деление дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 485, страница 92.

Условие.

485. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на $\frac{4}{5}$ и на $\frac{6}{7}$ в результате получим натуральные числа.

Решение.

Решение 2.

Пусть искомое наименьшее натуральное число равно $N$.

Согласно условию, при делении числа $N$ на дробь $\frac{4}{5}$ должно получиться натуральное число. Запишем это математически. Пусть $k_1$ — натуральное число, тогда:

$N \div \frac{4}{5} = k_1$

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$N \times \frac{5}{4} = k_1$

$\frac{5N}{4} = k_1$

Чтобы частное $\frac{5N}{4}$ было натуральным числом, необходимо, чтобы произведение $5N$ делилось на 4 без остатка. Поскольку числа 5 и 4 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), то для выполнения этого условия число $N$ должно быть кратно 4.

Аналогично, при делении числа $N$ на дробь $\frac{6}{7}$ также должно получиться натуральное число. Пусть $k_2$ — это натуральное число:

$N \div \frac{6}{7} = k_2$

Преобразуем выражение:

$N \times \frac{7}{6} = k_2$

$\frac{7N}{6} = k_2$

Чтобы частное $\frac{7N}{6}$ было натуральным числом, необходимо, чтобы произведение $7N$ делилось на 6 без остатка. Так как числа 7 и 6 взаимно просты, то для выполнения этого условия число $N$ должно быть кратно 6.

Таким образом, искомое число $N$ должно одновременно делиться на 4 и на 6. Чтобы найти наименьшее такое натуральное число, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4 и 6.

Разложим числа 4 и 6 на простые множители:

$4 = 2 \times 2 = 2^2$

$6 = 2 \times 3$

Для нахождения НОК необходимо взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их:

НОК(4, 6) = $2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$

Следовательно, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условиям, это 12.

Выполним проверку:

$12 \div \frac{4}{5} = 12 \times \frac{5}{4} = \frac{60}{4} = 15$ (15 — натуральное число)

$12 \div \frac{6}{7} = 12 \times \frac{7}{6} = \frac{84}{6} = 14$ (14 — натуральное число)

Оба условия выполняются.

Ответ: 12