Номер 487, страница 92 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Деление дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 487, страница 92.

Условие.

487. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на $\frac{6}{11}$, на $\frac{8}{17}$ и на $\frac{12}{19}$ в результате получим натуральные числа.

Решение.

Решение 2.

Пусть искомое наименьшее натуральное число равно $N$. По условию задачи, результаты деления $N$ на дроби $\frac{6}{11}$, $\frac{8}{17}$ и $\frac{12}{19}$ должны быть натуральными числами.

Запишем эти условия математически:

1. $N : \frac{6}{11} = N \cdot \frac{11}{6} = \frac{11N}{6}$ должно быть натуральным числом.

2. $N : \frac{8}{17} = N \cdot \frac{17}{8} = \frac{17N}{8}$ должно быть натуральным числом.

3. $N : \frac{12}{19} = N \cdot \frac{19}{12} = \frac{19N}{12}$ должно быть натуральным числом.

Рассмотрим каждое условие:

• Из выражения $\frac{11N}{6}$ следует, что $11N$ должно делиться на 6. Поскольку числа 11 и 6 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), то $N$ должно быть кратно 6.
• Из выражения $\frac{17N}{8}$ следует, что $17N$ должно делиться на 8. Поскольку числа 17 и 8 взаимно простые, то $N$ должно быть кратно 8.
• Из выражения $\frac{19N}{12}$ следует, что $19N$ должно делиться на 12. Поскольку числа 19 и 12 взаимно простые, то $N$ должно быть кратно 12.

Таким образом, искомое число $N$ должно быть одновременно кратно числам 6, 8 и 12. Чтобы найти наименьшее такое натуральное число, необходимо найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Найдем НОК(6, 8, 12). Для этого разложим числа на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2^3$
$12 = 2^2 \cdot 3$

Для вычисления НОК возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножим их: НОК$(6, 8, 12) = 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$.

Итак, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию, — это 24.

Проверим результат:
$24 : \frac{6}{11} = 24 \cdot \frac{11}{6} = 4 \cdot 11 = 44$ (натуральное)
$24 : \frac{8}{17} = 24 \cdot \frac{17}{8} = 3 \cdot 17 = 51$ (натуральное)
$24 : \frac{12}{19} = 24 \cdot \frac{19}{12} = 2 \cdot 19 = 38$ (натуральное)

Ответ: 24