Номер 489, страница 93 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Деление дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 489, страница 93.

Условие.

489. Вычислите:

1) $2 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{1}{3}}}$;

2) $\frac{2 - \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}}{2}}{2 + \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}}{2}}$;

3) $\frac{1}{2 - \frac{1}{2 - \frac{1}{2 - \frac{1}{3}}}}$.

Решение.

Решение 2.

1)

Решим данное выражение по действиям, начиная с самого внутреннего знаменателя.

1. Вычислим знаменатель самой нижней дроби: $1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

2. Теперь вычислим дробь $\frac{2}{1 + \frac{1}{3}}$, подставив результат из первого действия: $\frac{2}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

3. Вычислим следующий знаменатель: $1 + \frac{2}{1 + \frac{1}{3}} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$.

4. Вычислим дробь $\frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{1}{3}}}$, подставив результат из третьего действия: $\frac{1}{\frac{5}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$.

5. Выполним последнее действие: $2 + \frac{2}{5} = \frac{10}{5} + \frac{2}{5} = \frac{12}{5}$.

Результат можно также представить в виде десятичной дроби $2,4$ или смешанного числа $2\frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{12}{5}$.

2)

Для удобства вычислений, найдем сначала значение выражения $\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}}{2}$, которое встречается и в числителе, и в знаменателе основной дроби.

1. Вычислим разность в числителе маленькой дроби: $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.

2. Теперь разделим результат на 2: $\frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8}$.

3. Подставим полученное значение $\frac{1}{8}$ в исходное выражение:

$\frac{2 - \frac{1}{8}}{2 + \frac{1}{8}}$

4. Вычислим числитель основной дроби: $2 - \frac{1}{8} = \frac{16}{8} - \frac{1}{8} = \frac{15}{8}$.

5. Вычислим знаменатель основной дроби: $2 + \frac{1}{8} = \frac{16}{8} + \frac{1}{8} = \frac{17}{8}$.

6. Разделим числитель на знаменатель: $\frac{\frac{15}{8}}{\frac{17}{8}} = \frac{15}{8} \cdot \frac{8}{17} = \frac{15}{17}$.

Ответ: $\frac{15}{17}$.

3)

Решим данное выражение по действиям, начиная с самого нижнего знаменателя.

1. Вычислим самый нижний знаменатель: $2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$.

2. Подставим результат в следующую дробь: $\frac{1}{2 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{5}{3}} = 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$.

3. Вычислим следующий знаменатель: $2 - \frac{1}{2 - \frac{1}{3}} = 2 - \frac{3}{5} = \frac{10}{5} - \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$.

4. Подставим результат в следующую дробь: $\frac{1}{2 - \frac{1}{2 - \frac{1}{3}}} = \frac{1}{\frac{7}{5}} = 1 \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{7}$.

5. Вычислим последний знаменатель: $2 - \frac{1}{2 - \frac{1}{2 - \frac{1}{3}}} = 2 - \frac{5}{7} = \frac{14}{7} - \frac{5}{7} = \frac{9}{7}$.

6. Выполним последнее деление: $\frac{1}{\frac{9}{7}} = 1 \cdot \frac{7}{9} = \frac{7}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{9}$.