Номер 496, страница 93 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Деление дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 496, страница 93.

Условие.

496. В один ряд расположены 1 000 фишек. Любые две фишки, расположенные через одну, разрешается поменять местами. Можно ли переставить фишки в обратном порядке?

Решение.

Решение 2.

Пронумеруем все фишки и их позиции в ряду от 1 до 1000. В начальном состоянии на позиции $k$ находится фишка $k$. Цель — достичь состояния, в котором фишки расположены в обратном порядке, то есть на позиции $k$ должна оказаться фишка $1001-k$.

По условию задачи, разрешается менять местами любые две фишки, расположенные через одну. Это означает, что можно поменять местами фишки на позициях $i$ и $i+2$, где $1 \le i \le 998$.

Рассмотрим четность позиций, на которых находятся фишки. Операция обмена фишек с позиций $i$ и $i+2$ не меняет четность позиции для любой фишки. Числа $i$ и $i+2$ всегда имеют одинаковую четность: если $i$ — четное, то и $i+2$ — четное; если $i$ — нечетное, то и $i+2$ — нечетное. Следовательно, фишка, которая изначально находится на позиции с четным номером, после любого количества разрешенных операций всегда будет оставаться на позиции с четным номером. Аналогично, фишка с нечетной начальной позиции всегда будет находиться на нечетной позиции.

Таким образом, все 1000 позиций разделены на два независимых множества:

• Множество нечетных позиций: $\{1, 3, 5, \dots, 999\}$
• Множество четных позиций: $\{2, 4, 6, \dots, 1000\}$

Фишки не могут перемещаться из одного множества позиций в другое.

Теперь проанализируем требуемое конечное расположение. Фишка, которая изначально была на позиции 1 (нечетная), должна переместиться на позицию $1001-1=1000$ (четная). Фишка с позиции 2 (четная) должна оказаться на позиции $1001-2=999$ (нечетная). В общем случае, фишка с начальной позиции $k$ должна перейти на позицию $1001-k$. Сумма номеров начальной и конечной позиций для любой фишки равна $k + (1001-k) = 1001$, что является нечетным числом. Это означает, что если $k$ — четное, то $1001-k$ — нечетное, и наоборот, если $k$ — нечетное, то $1001-k$ — четное.

Получается, что для достижения обратного порядка каждая фишка должна переместиться с позиции одной четности на позицию другой четности. Как было показано выше, разрешенные операции не позволяют этого сделать. Таким образом, переставить фишки в обратном порядке невозможно.

Ответ: нет, нельзя.