Номер 560, страница 106 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Бесконечные периодические десятичные дроби. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 560, страница 106.

Условие.

560. На доске написаны числа 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0. Разрешается к любым двум записанным числам прибавить одно и то же натуральное число. Можно ли, выполнив такую операцию несколько раз, достичь того, чтобы все записанные числа оказались равными?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи рассмотрим свойство, которое сохраняется при выполнении указанной операции (инвариант). Таким свойством является четность суммы всех чисел, написанных на доске.

Изначально на доске написаны числа: 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0. Всего 8 чисел.Найдем их начальную сумму $S_0$:

$S_0 = 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 3$

Начальная сумма является нечетным числом.

Разрешенная операция состоит в том, чтобы к любым двум числам прибавить одно и то же натуральное число $n$ (где $n \geq 1$).Пусть текущая сумма чисел на доске равна $S$. После выполнения операции к двум числам прибавляется $n$, значит, общая сумма увеличится на $n + n = 2n$.Новая сумма $S_{new}$ будет равна:

$S_{new} = S + 2n$

Число $2n$ всегда является четным, так как $n$ — натуральное число. Прибавление четного числа к сумме не меняет ее четность. Поскольку начальная сумма $S_0 = 3$ была нечетной, то после любого количества операций сумма всех чисел на доске всегда будет оставаться нечетной.

Теперь рассмотрим конечную цель: сделать все числа равными. Допустим, нам это удалось, и все 8 чисел стали равны некоторому числу $K$.Тогда сумма всех чисел на доске $S_f$ будет равна:

$S_f = 8 \times K$

Поскольку один из множителей (число 8) является четным, то итоговая сумма $S_f$ всегда будет четным числом, независимо от значения $K$.

Мы пришли к противоречию:

• С одной стороны, в результате разрешенных операций сумма чисел на доске всегда должна оставаться нечетной.
• С другой стороны, в желаемом конечном состоянии, когда все числа равны, их сумма должна быть четной.

Так как нечетное число не может быть равно четному, достичь требуемого состояния невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.