Номер 83, страница 17 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки делимости на 9 и на 3. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 83, страница 17.

Условие.

83. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 21 85*, чтобы полученное число делилось нацело на 3, но не делилось нацело на 2?

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти нужную цифру, необходимо применить признаки делимости на 3 и на 2. Пусть искомая цифра, которую нужно поставить вместо звёздочки, это $x$. Тогда мы рассматриваем число вида $2185x$.

1. Условие делимости на 3
Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3. Найдём сумму известных цифр в нашем числе:
$2 + 1 + 8 + 5 = 16$.
Полная сумма цифр числа равна $16 + x$. Эта сумма должна быть кратна 3.
Переберём все возможные значения $x$ (от 0 до 9), чтобы найти те, при которых сумма $16+x$ делится на 3:
- Если $x=0$, сумма $16+0=16$ (не делится на 3).
- Если $x=1$, сумма $16+1=17$ (не делится на 3).
- Если $x=2$, сумма $16+2=18$. Так как $18 : 3 = 6$, эта цифра подходит.
- Если $x=3$, сумма $16+3=19$ (не делится на 3).
- Если $x=4$, сумма $16+4=20$ (не делится на 3).
- Если $x=5$, сумма $16+5=21$. Так как $21 : 3 = 7$, эта цифра подходит.
- Если $x=6$, сумма $16+6=22$ (не делится на 3).
- Если $x=7$, сумма $16+7=23$ (не делится на 3).
- Если $x=8$, сумма $16+8=24$. Так как $24 : 3 = 8$, эта цифра подходит.
- Если $x=9$, сумма $16+9=25$ (не делится на 3).
Итак, чтобы число делилось на 3, вместо звёздочки можно поставить одну из цифр: 2, 5 или 8.

2. Условие не делимости на 2
Согласно признаку делимости на 2, число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8).
По условию задачи, число не должно делиться на 2. Это значит, что оно должно быть нечётным. Число является нечётным, если его последняя цифра нечётная.
В нашем случае последняя цифра — это $x$. Значит, $x$ должен быть одной из нечётных цифр: 1, 3, 5, 7, 9.

3. Нахождение итоговой цифры
Теперь нам нужно выбрать цифру, которая удовлетворяет обоим условиям одновременно.
- Из первого условия мы получили список возможных цифр: {2, 5, 8}.
- Из второго условия мы получили список возможных цифр: {1, 3, 5, 7, 9}.
Единственная цифра, которая находится в обоих списках, — это 5.
Проверим полученный результат. Если вместо звёздочки поставить 5, получится число 21855.
- Проверка делимости на 3: сумма цифр $2+1+8+5+5=21$. 21 делится на 3, значит, и число 21855 делится на 3. Условие выполнено.
- Проверка делимости на 2: число 21855 оканчивается на 5. Это нечётная цифра, значит, число не делится на 2. Условие выполнено.
Следовательно, единственно верная цифра — это 5.

Ответ: 5