Номер 85, страница 17 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки делимости на 9 и на 3. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 85, страница 17.

Условие.

85. Запишите наименьшее:

1) четырёхзначное число, кратное 3;

2) пятизначное число, кратное 9;

3) шестизначное число, кратное 3 и 2;

4) четырёхзначное число, кратное 5 и 9.

Цифры в записи числа не могут повторяться.

Решение.

Решение 2.

1) четырёхзначное число, кратное 3; Чтобы найти наименьшее четырёхзначное число с неповторяющимися цифрами, кратное 3, нужно составить его из наименьших возможных цифр, начиная со старшего разряда. Первая цифра — 1 (так как 0 не может быть первой цифрой), вторая — 0, третья — 2. Получаем начало числа 102_. Согласно признаку делимости на 3, сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма уже выбранных цифр равна $1+0+2=3$. Обозначим последнюю цифру за $x$. Тогда сумма всех цифр $3+x$ должна быть кратна 3, что выполняется, если и $x$ кратно 3. Из оставшихся цифр {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} наименьшей, кратной 3, является цифра 3. Таким образом, искомое число — 1023. Сумма его цифр $1+0+2+3=6$, что кратно 3. Ответ: 1023

2) пятизначное число, кратное 9; Для нахождения наименьшего пятизначного числа с неповторяющимися цифрами, кратного 9, используем тот же подход. Начнём с наименьших цифр: 1, 0, 2, 3. Сумма этих цифр $1+0+2+3=6$. По признаку делимости на 9, сумма всех пяти цифр должна быть кратна 9. Если последняя цифра $x$, то $6+x$ должно быть кратно 9. Ближайшее подходящее значение для суммы — 9, тогда $x=3$. Но цифра 3 уже использована. Следующее кратное 9 — это 18, но тогда $x=12$, что не является цифрой. Значит, нужно изменить одну из предыдущих цифр. Чтобы число осталось наименьшим, изменим последнюю из выбранных цифр (3) на следующую по возрастанию. Пробуем комбинацию 1024_. Сумма цифр $1+0+2+4=7$. Тогда $7+x$ кратно 9, откуда $x=2$. Цифра 2 уже использована. Пробуем 1026_. Сумма цифр $1+0+2+6=9$. Тогда $9+x$ кратно 9, откуда $x=0$ или $x=9$. 0 уже использован, значит подходит $x=9$. Цифра 9 свободна. Получаем число 10269. Сумма его цифр $1+0+2+6+9=18$, что кратно 9. Ответ: 10269

3) шестизначное число, кратное 3 и 2; Число, кратное 3 и 2, должно быть кратно их наименьшему общему кратному, то есть 6. Это значит, что оно должно быть чётным (оканчиваться на 0, 2, 4, 6 или 8) и сумма его цифр должна делиться на 3. Для получения наименьшего числа, его первые цифры должны быть наименьшими возможными: 1, 0, 2, 3, 4. Сумма этих пяти цифр: $1+0+2+3+4=10$. Обозначим последнюю цифру за $x$. Условия для $x$: 1. $x$ — чётная цифра. 2. $x$ не должна повторяться с уже использованными {1, 0, 2, 3, 4}. 3. Сумма всех цифр $10+x$ должна быть кратна 3. Из чётных цифр {0, 2, 4, 6, 8} нам недоступны 0, 2, 4. Остаются 6 и 8. Проверяем их: - Если $x=6$, сумма $10+6=16$, не кратно 3. - Если $x=8$, сумма $10+8=18$, кратно 3. Этот вариант подходит. Таким образом, искомое число — 102348. Ответ: 102348

4) четырёхзначное число, кратное 5 и 9. Число, кратное 5 и 9, должно быть кратно 45. Это значит, что оно должно оканчиваться на 0 или 5, а сумма его цифр должна делиться на 9. Рассмотрим два случая, чтобы найти наименьшее число. Случай 1: число оканчивается на 0. Оно имеет вид _ _ _ 0. Сумма трёх первых неповторяющихся цифр должна быть кратна 9. Чтобы число было наименьшим, первая цифра — 1, вторая — 2. Их сумма $1+2=3$. Третья цифра $x$ должна удовлетворять условию, что $3+x$ кратно 9. Отсюда $x=6$. Получаем число 1260. Случай 2: число оканчивается на 5. Оно имеет вид _ _ _ 5. Чтобы число было наименьшим, первая цифра — 1, вторая — 0. Сумма этих цифр вместе с последней: $1+0+5=6$. Третья цифра $x$ должна удовлетворять условию, что $6+x$ кратно 9. Отсюда $x=3$. Получаем число 1035. Сравнивая два полученных числа, 1260 и 1035, выбираем наименьшее. Ответ: 1035