Номер 92, страница 18 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки делимости на 9 и на 3. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 92, страница 18.

Условие.

92. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы четырёхзначное число $3\text{*}4\text{*}$ делилось нацело на 9. Найдите все решения.

Решение.

Решение 2.

Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 без остатка, если сумма всех его цифр делится на 9.

Заданное четырёхзначное число имеет вид $3\*4\*$. Обозначим первую недостающую цифру (на месте сотен) как $x$, а вторую (на месте единиц) как $y$. Таким образом, число можно представить как $3x4y$. При этом $x$ и $y$ — это цифры от 0 до 9.

Найдём сумму цифр этого числа: $S = 3 + x + 4 + y = 7 + x + y$.

Эта сумма $S$ должна быть кратна 9. Поскольку $x$ и $y$ являются цифрами, их сумма $x+y$ может принимать значения от $0+0=0$ до $9+9=18$. Следовательно, общая сумма цифр $S = 7 + x + y$ находится в диапазоне от $7+0=7$ до $7+18=25$.

В этом диапазоне (от 7 до 25) есть два числа, которые делятся на 9: это 9 и 18. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Сумма цифр равна 9.
В этом случае $7 + x + y = 9$, откуда следует, что $x + y = 2$.
Этому условию удовлетворяют следующие пары цифр $(x, y)$: (0, 2), (1, 1), (2, 0).
Соответствующие им числа: 3042, 3141, 3240.

Случай 2: Сумма цифр равна 18.
В этом случае $7 + x + y = 18$, откуда следует, что $x + y = 11$.
Этому условию удовлетворяют следующие пары цифр $(x, y)$: (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3), (9, 2).
Соответствующие им числа: 3249, 3348, 3447, 3546, 3645, 3744, 3843, 3942.

Таким образом, мы нашли все возможные числа, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 3042, 3141, 3240, 3249, 3348, 3447, 3546, 3645, 3744, 3843, 3942.