Номер 95, страница 18 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки делимости на 9 и на 3. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 95, страница 18.

Условие.

95. Рома и Дима записывают девятнадцатизначное число, используя только цифры 1, 2 и 4. Первую цифру пишет Рома, вторую – Дима, третью – снова Рома и так далее по очереди. Рома хочет получить в результате число, кратное 3. Может ли Дима помешать ему это сделать?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы число было кратно 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. Это основной признак делимости на 3, который будет использоваться для решения задачи.

Рома и Дима по очереди записывают цифры девятнадцатизначного числа. Рома ходит первым, третьим, и так далее, на все нечетные позиции. Дима ходит вторым, четвертым, и так далее, на все четные позиции. Всего в числе 19 позиций, поэтому Рома сделает 10 ходов (позиции 1, 3, ..., 19), а Дима — 9 ходов (позиции 2, 4, ..., 18). Последний ход делает Рома.

Цель Ромы — чтобы итоговое число было кратно 3, то есть чтобы сумма всех 19 цифр, обозначим ее $S$, делилась на 3. Математически это записывается как $S \equiv 0 \pmod{3}$. Цель Димы — помешать этому, то есть сделать так, чтобы сумма цифр $S$ не делилась на 3, или $S \not\equiv 0 \pmod{3}$.

Игроки могут использовать только цифры 1, 2 и 4. Рассмотрим их остатки при делении на 3:

$1 \pmod{3} = 1$

$2 \pmod{3} = 2$

$4 \pmod{3} = 1$

Это означает, что на каждом ходу игрок может добавить к общей сумме остаток 1 (выбрав цифру 1 или 4) или остаток 2 (выбрав цифру 2).

Дима может применить выигрышную стратегию. Поскольку Дима делает 9 ходов в ответ на первые 9 ходов Ромы, он может "нейтрализовать" каждый ход Ромы. Стратегия Димы заключается в следующем: на каждый ход Ромы он отвечает таким образом, чтобы сумма их двух цифр (цифры Ромы и ответной цифры Димы) была кратна 3.

Рассмотрим эту стратегию подробно. Пусть $c_{2k-1}$ — цифра, которую ставит Рома на своем $k$-м ходу, а $c_{2k}$ — цифра, которую ставит Дима на своем $k$-м ходу ($k$ от 1 до 9).

1. Если Рома ставит цифру, дающую остаток 1 при делении на 3 (то есть 1 или 4), то Дима в ответ ставит цифру 2. Тогда сумма их цифр $c_{2k-1} + c_{2k}$ будет давать остаток $(1 + 2) \pmod{3} = 0$.

2. Если Рома ставит цифру 2 (остаток 2), то Дима в ответ ставит цифру 1 или 4 (остаток 1). Тогда сумма их цифр $c_{2k-1} + c_{2k}$ будет давать остаток $(2 + 1) \pmod{3} = 0$.

Дима всегда может следовать этой стратегии, так как у него есть в распоряжении цифры, дающие и остаток 1, и остаток 2.

После того, как Рома сделает 9 ходов и Дима сделает 9 ответных ходов, будет записано первые 18 цифр числа. Сумма этих 18 цифр, $S_{18}$, будет состоять из 9 пар, сумма цифр в каждой из которых делится на 3. Следовательно, вся сумма $S_{18}$ будет кратна 3, то есть $S_{18} \equiv 0 \pmod{3}$.

Теперь наступает последний, 19-й ход. Его делает Рома. Он должен выбрать последнюю цифру, $c_{19}$. Итоговая сумма всех цифр числа будет равна $S = S_{18} + c_{19}$.

Остаток от деления итоговой суммы $S$ на 3 будет равен: $S \pmod{3} = (S_{18} + c_{19}) \pmod{3}$. Так как $S_{18} \equiv 0 \pmod{3}$, то $S \pmod{3} = c_{19} \pmod{3}$.

Рома должен выбрать $c_{19}$ из набора {1, 2, 4}.

- Если он выберет 1, то $S \pmod{3} = 1$.

- Если он выберет 2, то $S \pmod{3} = 2$.

- Если он выберет 4, то $S \pmod{3} = 1$.

Ни в одном из этих случаев итоговая сумма $S$ не будет кратна 3. Таким образом, Дима, придерживаясь описанной стратегии, гарантированно не даст Роме составить число, кратное 3.

Ответ: Да, Дима может помешать Роме.