Номер 94, страница 18 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки делимости на 9 и на 3. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 94, страница 18.

Условие.

94. Сначала вычислили сумму цифр числа, равного произведению $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 999 \cdot 1000$. Потом вычислили сумму цифр полученного числа. Так поступали до тех пор, пока не получили однозначное число. Что это за число?

Решение.

Решение 2.

Обозначим исходное число как $N$. Это число равно произведению $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 999 \cdot 1000$, что является факториалом тысячи: $N = 1000!$.

Процесс последовательного вычисления суммы цифр до получения однозначного числа называется нахождением цифрового корня числа. Ключевым свойством этого процесса является то, что число и сумма его цифр всегда имеют одинаковый остаток при делении на 9. Это следует из того, что любая степень числа 10 при делении на 9 дает в остатке 1. Например, $10 = 9 + 1 \equiv 1 \pmod{9}$, $100 = 99 + 1 \equiv 1 \pmod{9}$, и в общем виде $10^k \equiv 1 \pmod{9}$ для любого целого неотрицательного $k$.

Любое натуральное число $A$ можно представить в виде суммы произведений его цифр на степени десяти: $A = d_n 10^n + d_{n-1} 10^{n-1} + \dots + d_1 10^1 + d_0$. Сумма его цифр $S(A) = d_n + d_{n-1} + \dots + d_1 + d_0$.

Сравним остатки от деления $A$ и $S(A)$ на 9:

$A = d_n 10^n + \dots + d_0 \equiv d_n \cdot 1 + \dots + d_0 \cdot 1 \pmod{9}$

$A \equiv S(A) \pmod{9}$

Это означает, что при каждой итерации вычисления суммы цифр остаток от деления на 9 сохраняется. Следовательно, итоговое однозначное число будет иметь тот же остаток при делении на 9, что и исходное число $N = 1000!$.

Теперь определим, делится ли число $N = 1000!$ на 9. В произведении $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 999 \cdot 1000$ присутствует множитель 9 (а также 18, 27 и т.д.). Поскольку число 9 является одним из множителей, всё произведение $1000!$ делится на 9 без остатка.

Итак, $1000! \equiv 0 \pmod{9}$.

Следовательно, итоговое однозначное число также должно делиться на 9. Единственное положительное однозначное число, которое делится на 9, это 9. (Сумма цифр положительного числа не может быть 0, поэтому итоговое число не 0).

Таким образом, после всех вычислений мы получим число 9.

Ответ: 9