Номер 89, страница 18 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки делимости на 9 и на 3. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 89, страница 18.

Условие.

89. К числу 15 допишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получившееся число было кратно 15. Сколько решений имеет задача?

Решение.

Решение 2.

Пусть к числу 15 слева дописали цифру $x$, а справа — цифру $y$. Получилось четырехзначное число вида $\overline{x15y}$. Поскольку $x$ является первой цифрой числа, она не может быть нулем, следовательно, $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Цифра $y$ может быть любой, то есть $y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Согласно условию, полученное число $\overline{x15y}$ должно быть кратно 15. Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится и на 3, и на 5 (поскольку 3 и 5 — взаимно простые числа и $15 = 3 \cdot 5$). Применим признаки делимости на 3 и 5.

Признак делимости на 5
Число делится на 5, если его последняя цифра равна 0 или 5. Это означает, что цифра $y$ может быть либо 0, либо 5.

Признак делимости на 3
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа $\overline{x15y}$ равна $S = x + 1 + 5 + y = x + y + 6$.

Рассмотрим два возможных случая, исходя из признака делимости на 5.

Случай 1: последняя цифра $y = 0$
Число имеет вид $\overline{x150}$. Сумма его цифр равна $S = x + 1 + 5 + 0 = x + 6$.
Для того чтобы число делилось на 3, сумма $x + 6$ должна быть кратна 3. Так как слагаемое 6 уже делится на 3, то и слагаемое $x$ должно делиться на 3. Из возможных значений для $x$ (цифры от 1 до 9) нам подходят: 3, 6, 9.
В этом случае мы получаем три решения: 3150, 6150, 9150.

Случай 2: последняя цифра $y = 5$
Число имеет вид $\overline{x155}$. Сумма его цифр равна $S = x + 1 + 5 + 5 = x + 11$.
Для того чтобы число делилось на 3, сумма $x + 11$ должна быть кратна 3. Проверим все возможные значения $x$ от 1 до 9:

• Если $x=1$, то $S = 1 + 11 = 12$. 12 делится на 3. Получаем число 1155.
• Если $x=2$, то $S = 2 + 11 = 13$. Не делится на 3.
• Если $x=3$, то $S = 3 + 11 = 14$. Не делится на 3.
• Если $x=4$, то $S = 4 + 11 = 15$. 15 делится на 3. Получаем число 4155.
• Если $x=5$, то $S = 5 + 11 = 16$. Не делится на 3.
• Если $x=6$, то $S = 6 + 11 = 17$. Не делится на 3.
• Если $x=7$, то $S = 7 + 11 = 18$. 18 делится на 3. Получаем число 7155.
• Если $x=8$, то $S = 8 + 11 = 19$. Не делится на 3.
• Если $x=9$, то $S = 9 + 11 = 20$. Не делится на 3.

В этом случае мы получаем еще три решения: 1155, 4155, 7155.

Суммируя решения из двух случаев, получаем общее количество решений: $3 + 3 = 6$.

Ответ: задача имеет 6 решений.